Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.4. Вероятностные модели на окружности

3.4.1. Введение. Большинство конкретных распределений на окружности возникли как аналоги распределений на прямой. При этом роль тех или иных распределений так же, как и сама аналогия, проясняются при перенесении на окружность центральной предельной теоремы, броуновского движения и т. д.

В пп. 3.4.2, 3.4.3, 3.4.8с рассматриваются дискретные распределения. В других параграфах рассматриваются абсолютно непрерывные распределения. Распределение Мизеса (3.4.9) в статистических задачах на окружности имеет столь же важное значение, как и нормальное распределение в статистических задачах на прямой. Важную для приложений роль играют также равномерное и намотанное нормальное распределения (см. пп. 3.4.4 и 3.4.8). Намотанное распределение Коши рассматривается в п. 3.4.8е, решетчатые распределения — в п. 3.4.3.

3.4.2. Вырожденное распределение. Рассмотрим распределение, сосредоточенное в единственной точке, т. е. такое, что этого распределения, очевидно, есть Легко видеть, что для этого распределения, называемого вырожденным, Верно и обратное: если то распределение вырожденное (см. п. 3.3.3).

Если так что формальное разложение Фурье для плотности вырожденного распределения запишется в виде

3.4.3. Решетчатое распределение. Рассмотрим дискретное распределение, для которого

где все Это распределение, называемое решетчатым, можно представить себе сосредоточенным в вершинах правильного -угольника, вписанного в единичную окружность. В частности, если то распределение называется дискретным равномерным. Мы уже сталкивались с таким распределением при рассматривая недеформированное колесо рулетки.

Если то х. ф. решетчатого распределения (3.4.1) есть

так что при Для дискретного равномерного распределения

Пуассоновское распределение на окружности рассмотрено в п. 3.4.8. Распределение первой значащей цифры числа, выбираемого наудачу из большой совокупности, рассмотрено в п. 4.3.4.

3.4.4. Равномерное распределение. угол называется равномерно распределенным, если его п. р. в. выражается формулой

В этом случае т. е.

Равномерное распределение на окружности не концентрируется вокруг какого-нибудь направления и имеет максимальный разброс, поскольку

Пусть независимые одинаково равномерно распределенные сл. углы. Тогда х. ф. суммы есть Из (3.4.9) следует, что в случае равномерного распределения выражается формулой (3.4.5), поэтому, в силу теоремы единственности для сумма равномерно распределена на . В п. 4.3.2а мы увидим, что в широком классе случаев этот результат асимптотически верен для суммы произвольных одинаково распределенных независимых слагаемых при

С другой стороны, в силу (3.4.5) нетрудно убедиться, что если независимые сл. углы и подчиняется равномерному распределению, то при любом распределении сл. угла сумма равномерно распределена на окружности.

3.4.5. Кардиоидное распределение. Рассмотрим п. р. в.

График этой п. р. в., введенной Джеффрисом (1948, стр. 302), в полярных координатах представляет собой кардиоиду. Это распределение симметрично и одновершинно. При оно превращается в равномерное распределение, и, таким образом, при малых описывает слабые отклонения от равномерности.

Для этого распределения Кроме того, из (3.3.12) следует, что круговое среднее отклонение относительно есть

3.4.6. Треугольное распределение. Рассмотрим п. р. в.

Это распределение, называемое треугольным, симметрично относительно причем

Для асимметричного распределения с плотностью

значения тригонометрических моментов выражаются формулами

3.4.7. Угловое нормальное распределение. Условимся в дальнейшем символом обозначать нормальное распределение в -мерном пространстве, имеющее вектор средних значений и ковариационную матрицу 2. В обозначелии нормального распределения на прямой с математическим ожиданием к и дисперсией индекс будет, как правило, опускаться. Кроме того, условимся символом обозначать функцию стандартного нормального распределения а символом соответствующую п. р. в.

Пусть для где

Переходя от к полярным координатам и по формулам в результате интегрирования

по от до получим маргинальную п. р. в. сл. угла

где

Интересными частными случаями п. р. в. являются плотности

где Отметим, что (3.4.9) редуцируется к равномерному распределению тогда и только тогда, когда

Распределение (3.4.12) при некоторых условиях представляет собой асимптотическое распределение для выборочного кругового среднего направления (см. § 4.8). Распределение (3.4.11) естественно возникает при изучении мощности некоторого критерия (Клотц, 1964). Метеорологи часто используют распределение (3.4.12) при изучении направления ветра в предположении, что координаты скорости ветра — независимые сл. в. с распределениями соответственно. Необходимо, однако, отметить, что при таких предположениях о распределении построение теории чрезвычайно трудно.

3.4.8. Намотанные распределения.

3.4.8а. Определение. Пусть на прямой задано распределение F сл. в. X. Намотанным на единичную окружность распределением называется распределение угла

так что если , то сл. угол имеет ф. р.

В частности, если сл. в. X подчиняется распределению, сосредоточенному в точках то соответствующее намотанное распределение определяется вероятностями

где .

Аналогично, если сл. в. X имеет то сл. угол распределен непрерывно и его п. р. в. выражается формулой

Свойства намотанных распределений, (а) Если то х. ф. сл. угла есть поскольку

Если интегрируема, то имеет п. р. в., которая выражается формулой

причем Действительно, поскольку интегрируема, то

Следовательно, ряд сходится, и справедливость утверждения следует из (3.2.5) и (3.4.15). Этот результат

может быть также получен с помощью формулы суммирования Пуассона.

(c) Если распределение безгранично делимо, то также безгранично делимо.

(d) Распределение на прямой, приводящее к заданному намотанному распределению не единственно. В частности, если есть п. р. в. некоторого распределения на окружности, то функция

есть п. р. в. на прямой для любого набора неотрицательных чисел для которых

3.4.8с. Намотанное распределение Пуассона. Рассмотрим распределение Пуассона

Согласно (3.4.14) намотанное распределение Пуассона определяется вероятностями

где I — целое. Нетрудно видеть, что эта вероятность — убывающая функция от Согласно намотанного распределения Пуассона выражается формулой так что распределение имеет свойство воспроизводимости. Это распределение возникло при изучении предельных теорем в схеме серий на окружности (Леви (1939)).

3.4.8d. Намотанное нормальное распределение. Согласно (3.4.15) п. р. в. намотанного нормального распределения выражается формулой

Соответствующая х. ф. есть

Используя это равенство, с помощью (3.4.17) получаем удобное представление п. р. в. (3.4.18) в виде ряда Фурье:

где Связь между (3.4.18) и (3.4.20) выражает одно из известных преобразований в теории тета-функции (Беллман (1961), стр. 11). Далее,

Намотанное нормальное распределение одновершинно, симметрично относительно имеет в общем случае две точки перегиба. При оно стремится к равномерному распределению, а при к вырожденному распределению. Значения п. р. в. (3.4.18) можно вычислять с помощью дзета-функций, поскольку Функция Шулером и Гебелином

Намотанное нормальное распределение обладает свойством воспроизводимости. Именно, если независимые сл. углы, причем О имеет то х. ф. суммы есть Поэтому в силу (3.4.19) и теоремы единственности заключаем, что распределение суммы снова имеет вид (3.4.20).

Намотанное нормальное распределение возникает в центральной предельной теореме на окружности а также при рассмотрении броуновского движения на окружности. Именно, если 1) непрерывное случайное блуждание частицы начинается в момент из точки за бесконечно малый промежуток времени частица проходит бесконечно малое расстояние и 3) в любой момент математическое ожидание смещения частицы равно нулю, а (линейная) дисперсия пропорциональна времени то п. р. в. положения частицы в момент задается равенством (3.4.18) с Этот результат впервые получили Де Гасс и Лорентц (1913, стр. 24—25). Стефенс привел доказательство этого утверждения при условии симметричности распределения приращения. Это утверждение можно также рассматривать как частный случай одной теоремы в диссертации Бингхема (1971).

Намотанное нормальное распределение изучали Зернки (1928), Винтнер (1933), П. Леви (1939) и др.

3.4.8е. Намотанное распределение Коши. Распределение Коши на прямой задается плотностью

Соответствующая х. ф. есть Следовательно, согласно (3.4.17) плотность намотанного распределения Коши выражается

формулой

где Рассматривая действительную часть суммы геометрической прогрессии находим, что

Далее,

Это распределение одновершинно и симметрично. При оно стремится к равномерному, а при вырожденному в точке Его ф. р. имеет вид

Распределение обладает свойством воспроизводимости. как функция и есть пуассоновское ядро (см. п. 4.2.1).

Намотанное распределение Коши было впервые введено Леви (1939) и изучалось также Винтнером (1947). Используя общий вид х. ф. устойчивых распределений (см., например, Лукач (1970), стр. 136), можно убедиться, что п. р. в. намотанного устойчивого распределения имеет вид

Винтнер (1947) доказал, что при устойчивые распределения имеют единственную моду в точке Этому семейству распределений, разумеется, принадлежат намотанное нормальное распределение и намотанное распределение Коши. Более сложно выглядит семейство намотанных распределений К. Пирсона (Мардиа (1971)).

3.4.9. Распределение Мизеса.

3.4.9а. Определение. Говорят, что сл. угол О имеет распределение Мизеса, если соответствующая п. р. в. выражается формулой

где - модифицированная функция Бесселя первого рода и нулевого порядка, т. е.

Параметр круговое среднее направление сл. угла параметр можно рассматривать как характеристику концентрации распределения в окрестности

Распределение с п. р. в. (3.4.23) будем в дальнейшем обозначать Следует заметить, что распределения совпадают. Чтобы избежать неопределенности, условимся всегда считать, что

Это распределение было введено Мизесом (1918) в связи с изучением дробных долей зарегистрированных атомных весов. Различные характеризации этого распределения на окружности, аналогичные характеризациям нормального распределения на прямой, приведены в п. 3.4.9f. Иллюстрации проверки согласия этого распределения с эмпирическими распределениями, возникающими в типичных для приложений ситуациях, приведены в примерах 5.2 и 5.3.

3.4.9b. Форма распределения Мизеса. Распределение Мизеса одновершинно и симметрично относительно точки являющейся модой. Отношение значения п. р. в. в моде к ее значению в антимоде равно Чем больше тем больше распределение Мизеса концентрируется вокруг моды. П. р. в. в полуинтервале имеет две точки перегиба

причем если велико, то эти точки ведут себя как Заметим, что п. р. в. нормального распределения также имеет две точки перегиба

На рис. 3.1 изображены графики плотности распределения Мизеса соответствующие значениям . При распределение почти целиком сосредоточено на дуге от —90° до Графики плотности, соответствующие значениям и 180°, приведены на рис. 3.2, а рис. 3.3 изображает график плотности в полярных координатах при

3.4.9с. Связь с другими распределениями. Из (3.4.23) следует, что при превращается в равномерное -пределение, Если то плотность распределения

(кликните для просмотра скана)

совпадает (с точностью до членов порядка кардиоидного распределения (3.4.6) при

Пусть тогда согласно (3.4.23) п. р. в. сл. в. выразится формулой

Если то Поэтому п. р. в. при больших близка к п. р. в. стандартного нормального распределения Иными словами, при распределение асимптотически ведет себя как

Рис. 3.3.

Интересна связь распределения Мизеса с двумерным нормальным распределением. Пусть независимые сл. в., подчиняющиеся распределениям соответственно.

Положим Тогда п. р. в. новых выразится формулой

Поэтому условное распределение О при есть Указанная связь распределений Мизеса и нормального следует из соображений, высказанных Фишером (1959, стр. 137).

Связи распределения Мизеса с другими распределениями, а также свойства, отмеченные в 3.4.9b, ясно указывают, что параметр похож на среднее значение, а параметр в случае распределения Мизеса играет ту же роль, что и дисперсия в случае нормального распределения. При распределение превращается в равномерное, а при больших значениях оно сконцентрировано около поэтому часто называют параметром концентрации. Соотношение между указано ниже в (3.4.29).

Связь распределения Мизеса с намотанным нормальным распределением обсуждается в п. 3.4.9d.

На рис. 3.4 приведены для сравнения плотности четырех симметричных одновершинных распределений при одном и том же значении дисперсии Кружочками изображены точки перегиба.

3.4.9d. Характеристическая функция и моменты. Положим Поскольку распределение симметрично относительно то

Следовательно,

Рис. 3.4.

Разлагая экспоненту в ряд, получим

где

Интегрируя дважды по частям, убеждаемся, что

Следовательно, если то и справедливо:

Таким образом, из (3.4.26) следует, что

где

есть модифицированная функция Бесселя порядка

В частности, при и произвольном

где При малых

При больших имеет место асимптотическая формула (см. Абрамович, Стегун (1965), стр. 377)

где Используя эту формулу, получим

Покажем, далее, что

Действительно, дифференцируя ряд (3.4.28), определяющий находим, что

Исключая отсюда убеждаемся в справедливости (3.4.33).

Наконец, заметим, что, распределение Мизеса можно рассматривать как намотанное распределение с

3.4.9е. Функция распределения. Из равенств (3.2.5) и (3.4.25) вытекает, что разложение Фурье для п. р. в. распределения имеет вид

и следовательно, разложение Фурье для соответствующей ф. р. есть

Это выражение было использовано в работе Гамбела и др. (1953) для вычисления Укажем также, что может быть выражена в терминах неполной бета-функции, а именно

Этот результат получается после интегрирования равенства (3.4.23) и разложения экспоненты под интегралом в степенной ряд.

Гамбел и др. (1953) табулировали при а Бачелет (1965) табулировал при В приложении 1 приведена часть этой таблицы, а именно указаны значения вероятностей

При удовлетворительной аппроксимацией для служит (см. п. 3.4.9с).

3.4.9f. Некоторые характеризационные свойства. Укажем два характеризационных свойства распределения Мизеса, аналогичных характеризационным свойствам нормального распределения на прямой. Первое из этих свойств указано Мизесом (1918), а второе из них новое.

Свойство наиболее правдоподобной оценки. Пусть в X на прямой. Гаусс доказал, что выборочное среднее X является наиболее правдоподобной оценкой для теоретического среднего тогда и только тогда, когда плотность нормального распределения. Аналогично, пусть - п. р. в. на окружности, и предположим, что наиболее правдоподобная оценка параметра есть выборочное круговое среднее направление так что

где по определению (см. п. 2. 2. 2)

Поскольку уравнения (3.4.37) и (3.4.38) совпадает при всех то

Заменяя на убеждаемся, что плотность распределения Мизеса.

Свойство максимума энтропии. Энтропия распределения с п. р. в. выражается формулой

Покажем, что распределение Мизеса максимизирует энтропию при фиксированных круговых среднем и дисперсии, т. е. при фиксированных значениях интегралов

фиксированы). Как известно (см. Рао (1968), стр. 63),

где две п. р. в. Равенство достигается лишь тогда, когда совпадают почти для всех значений 0. Положим

где и с выбраны так, чтобы удовлетворяла условиям (3.4.40) и чтобы интеграл от равнялся единице. Это означает, что

где решение уравнения

Из (3.4.41) и (3.4.42) вытекает неравенство

откуда в силу (3.4.40) и (3.4.43) следует, что

Таким образом, — есть верхняя грань для энтропии распределения при условии (3.4.40). Используя (3.4.43) и

(3.4.44), можно убедиться, что эта верхняя грань достигается, когда плотность распределения Мизеса, что и дает искомое характеризационное свойство. Напомним, что и нормальное распределение на прямой максимизирует энтропию при фиксированных стр. 146).

Если не требовать, чтобы удовлетворяла условиям (3.4.40), то энтропия достигает максимума при равномерном распределении на

В п. 3.4.9с мы описали распределение Мизеса как некое условное распределение. Описание такого рода, конечно, не единственно. Например, двумерное нормальное распределение со средними дисперсиями и нулевым коэфциентом корреляции снова приводит к распределению Мизеса. Дауне (1966) получил и обратный результат. Пойя (1930) показал, что распределение на прямой, для которого среднее и мода совпадают, приводит в предельном случае к нормальному распределению. Аналогичные рассмотрения на окружности приводят к распределению Мизеса.

3.4.9g. Связь с намотанным нормальным распределением. Намотанное нормальное распределение и распределение Мизеса довольно хорошо аппроксимируют друг друга при подходящем выборе параметров (Стефенс (1963а)). Соотношение их параметров можно получить, например, приравнивая соответствующие первые тригонометрические моменты. В частности, из формулы использованной в п. 3.4.8, а также в силу (3.4.29) получаем, что

Если то и оба распределения стремятся к равномерному. Если же то и оба распределения стремятся к одному и тому же вырожденному распределению. Полученные Стефенсом (1963а) численные оценки различия этих распределений показывают, что они близки и при умеренных значениях .

3.4.9h. Свертка распределений Мизеса. Пусть углы и независимы и имеют распределения соответственно. Согласно формуле (3.2.7) п. р. в. сл. угла есть

где С помощью (3.4.24) искомая п. р. в. может быть

записана в виде

где При выражение в квадратных скобках превращается в

Таким образом, свертка двух распределений Мизеса не есть распределение Мизеса. Тем не менее она может быть аппроксимирована распределением Мизеса. Действительно, согласно п. 3.4.9 распределения, могут быть аппроксимированы намотанными нормальными распределениями, свертка которых (см. п. 3.4.8d) снова есть намотанное нормальное распределение с параметрами которое можно в свою очередь аппроксимировать распределением где решение уравнения

Таким образом, аппроксимирует распределение с плотностью (3.4.46). Численные оценки показывают, что аппроксимация эта весьма хорошая (см. Стефенс (1963а)).

В случае -кратной свертки распределений Мизеса соответствующую п. р. в. нетрудно получить, подставляя произведение х. ф. в ряд Фурье (3.2.5). При приравнивая (3.4.46) получаемому выражению, приходим к простому доказательству известной формулы суммирования фон Неймана

которая справедлива и при комплексных Распределение -кратной свертки так же, как и в случае может быть аппроксимировано распределением Мизеса.

С помощью х. ф. нетрудно установить, что разность — имеет Таким образом, распределение этой разности аппроксимируется распределением где решение уравнения (3.4.47).

3.4.10. Выбор «нормального» распределения на окружности. Было бы весьма естественным называть нормальным распределением на окружности то распределение, которое обладает всеми важными свойствами нормального распределения на прямой. К сожалению, такого распределения на окружности нет: распределение Мизеса имеет лишь часть желательных свойств, другую же часть имеет намотанное нормальное распределение.

Как мы видели, распределение Мизеса определяется двумя параметрами и зависит от этих параметров так же, как нормальное распределение на прямой зависит от Аналогично нормальному распределению распределение Мизеса характеризуется наиболее правдоподобной оценкой для параметра сдвига и свойством максимизировать энтропию при заданных круговых среднем направлении и дисперсии (3.4.9Ь).

С другой стороны, определение броуновского движения и некоторые предельные теоремы на окружности приводят к намотанному нормальному распределению. Свертка намотанных нормальных распределений снова есть намотанное нормальное распределение. Далее, независимость где любая функция, а независимые сл. углы, также означает, что и имеют намотанные нормальные распределения (Кац и ван Кампен (1939)).

В мы увидим, что эти два распределения хорошо аппроксимируют друг друга. Поэтому можно полагать, что свойствами, которыми обладает одно из этих распределений, в той или иной степени обладает и другое, и выбор каждого из них в виде модели — в значительной степени дело удобства. Распределение Мизеса в отличие от намотанного нормального приводит к удобным выборочным распределениям в задачах проверки гипотез, да и оценки максимального правдоподобия выглядят проще. С другой стороны, тригонометрические моменты выглядят проще в случае намотанного нормального распределения — обстоятельство, которое мы используем в § 3.7 при определении кругового стандартного отклонения и кругового эксцесса.

Следует отметить, что равномерное распределение на окружности также обладает рядом важных свойств, аналогичных свойствам нормального распределения на прямой. В частности, равномерное распределение устойчиво, тогда как распределение Мизеса и намотанное нормальное распределение — нет. Кроме того, равномерное распределение является предельным распределением для суммы независимых слагаемых (4.3.2а). Однако распределение Мизеса и намотанное нормальное распределение играют все же значительно более важную роль.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление