Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ВВЕДЕНИЕ

1. Предпосылки. Интерес к разработке методов анализа угловых измерений имеет, собственно говоря, столь же старые корни, что и сама математическая статистика. В частности, теория ошибок была разработана Гауссом в основном для нужд измерений углов в астрономии. И можно считать исторической случайностью, если угодно, что ошибки измерений оказались достаточно малы, так что линейная аппроксимация оказалась приемлемо и Гаусс развил линейную, а не собственно угловую теорию ошибок. Во многих приложениях, однако, мы встречаем угловые измерения, которые уже не могут быть аппроксимированы линейными, например, измерения ориентации в биологии, измерения пролегания и уклона в геологии, данные по сезонным измерениям в медицине, измерения направлений ветра в метеорологии. Попытка применить тут непосредственно линейные методы приводит к парадоксам: например, арифметическое среднее углов 1° и 359° равно 180°, тогда как геометрическая интуиция подсказывает, что среднее должно быть 0°.

2. Направления. Едва ли не все практические ситуации приводят к измерениям направлений либо на плоскости, либо в трехмерном пространстве, хотя формально можно иметь в виду и пространства больших размерностей. Геометрически направления можно трактовать как точки на окружности или сфере. Иногда, как, скажем, при изучении расположения осей кристаллов, интерес представляют не собственно направления, а оси, так что не делается разницы между двумя диаметрально противоположными точками. Иначе говоря, осевые наблюдения можно трактовать как точки на полуокружности или полусфере.

3. Особенности статистики угловых измерений. При разработке статистических методов на окружности выявляется ряд специфических свойств, отличающих их от статистических методов на прямой. Например, требуется ввести определения функции распределения, характеристической функции и моментов, согласованные с периодичностью, естественно возникающей при рассмотрениях на окружности. Компактность окружности упрощает изучение сходимости распределений. Различная

алгебраическая структура прямой и окружности (на прямой имеются две операции — сложение и умножение, на окружности — операция сложения по в случае окружности приводит к специфическим предельным теоремам и сильно обедняет семейство устойчивых законов. Прибавление числа по не есть монотонное преобразование в отличие от обычного прибавления числа на прямой, что привносит специфику в изучение непараметрических методов на окружности.

Аналогичные замечания можно сделать при сравнении статистических методов на гиперсфере с обычным статистическим анализом в многомерном евклидовом пространстве.

4. Исторические замечания. Первые исследования в статистике угловых измерений были связаны с изучением равномерно распределенных случайных углов. Так, в 1734 году Даниил Бернулли рассматривал вопрос: можно ли объяснить близость орбитальных плоскостей известных тогда шести планет случайностью? Каждой орбитальной плоскости можно поставить в соответствие единственную нормаль, которой в свою очередь соответствует единственная точка на сфере. Вопрос тогда состоит в том, можно ли эти точки считать реализациями равномерно распределенных направлений на сфере? Естественной статистикой критерия равномерности является длина результирующей нормали к орбитальным плоскостям. Первым, кто изучал распределение длины результирующей (для случая направлений на плоскости), был Релей (1880), рассматривавший эту статистику при изучении звуковых колебаний. Его работа была мало известна статистикам до его ответа в 1905 г. на письмо К. Пирсона в журнале «Нейчур», касающееся случайного блуждания на окружности. В отличие от Релея, указавшего приближенное выражение для распределения, Клювер (1905) привел точное выражение. Другое приближенное выражение получил К. Пирсон (1906). Релей (1919) указал точное решение задачи равномерного случайного блуждания на сфере и аппроксимации для случая больших выборок.

Распределения, отличные от равномерного, начали появляться в исследованиях лишь после 1900 года. Интерес к броуновскому движению на окружности привел к изучению намотанного нормального распределения (Перрен (1928)). Мизес (1918), изучая результаты измерений атомных весов, ввел распределение на окружности с помощью характеризации, аналогичной характеризации Гауссом нормального распределения на прямой. Ланжевен (1905), изучая явления магнетизма, ввел распределение на сфере, которое, как показал Арнольд (1941), допускает характеризацию типа гауссовской характеризации. Потребности в методах анализа угловых измерений, между тем, ощущались все более остро, особенно специалистами наук о

Земле (см. работу Стейнметца (1962)). Однако реальный прогресс был достигнут лишь после основополагающей работы Р. А. Фишера, появившейся в 1953 г. Интерес Фишера к этой области возник в связи с проблемами в изучении палеомагнетизма (Госперс (1955)). В это же время Е. Дж. Гамбел, Д. Дуранд и Дж. А. Гринвуд вели исследование распределения Мизеса и, используя метод Фишера, Гринвуд и Дуранд (1955) продвинулись в разработке теории распределений на окружности.

Важная работа Ватсона и Вильямса (1956) содержала не только единые методы статистических выводов для распределений Мизеса и Фишера, но оказалась источником многих новых результатов и идей. С тех пор, в основном благодаря Дж. С. Ватсону и его коллегам, методы статистики направлений стали развиваться и обогащаться сравнительно быстро. Так, Ватсон развил технику, аналогичную линейному дисперсионному анализу, а также рассмотрел ряд параметрических и непараметрических критериев, М. А. Стефенс исследовал проблематику для малых выборок, Р. Дж. Беран внес единообразие в теорию непараметрических критериев, Е. Ирвинг, привлекший к этой области в 1956 г. внимание Ватсона, обсудил различные методы анализа угловых наблюдений на сфере в своей книге 1964 г., написанной для геологов. Е. Бачелет упростил и унифицировал эти методы для случая окружности в своей монографии 1965 г. для биологов. Говоря об исследователях, внесших заметный вклад в теорию статистических методов анализа направлений за, последние 20 лет, следует назвать таких ученых, как Б. Айне, Т. В. Андерсон, К. Бингхем, Е. Брайтенбергер, Б. Дж. Барр, Е. Димрот, Т. Д. Дауне, А. Л. Гоулд, Дж. Л. Ходжес мл., Н. Л. Джонсон, Н. Г. Куипер, У. Р. Мааг, Э. С. Пирсон, С. Р. Рао, Дж. Р. Рао, С. Шах, Б. Селби и Дж. Г. Айтон,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление