Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.5. Высокочастотные распределения на окружности

Как уже отмечалось в п. 3.1.1, ф. p. сл. угла О, принимающего значения на окружности единичного радиуса, представляет собой сумму линейной функции и периодической

функции имеющей период Однако в действительности для функции минимально возможный период может равняться — (целое положительное число со называется частотой).

Условимся распределение вероятностей сл. угла называть высокочастотным, если Простейший пример высокочастотного распределения — дискретное равномерное распределение, сосредоточенное в I равноотстоящих точках окружности (см. п. 3.4.3); для такого распределения Примеры статистических данных, соответствующих высокочастотным распределениям, приводились ранее во второй главе.

3.5.1. Связь высокочастотных распределений с распределениями, которым соответствует частота, равная единице. Пусть -функция высокочастотного распределения с частотой . В таком случае где периодическая функция с периодом т. е.

или, что то же самое,

Согласно определению, данному в п. 3.1.1 (см. формулу (3.1.2)), это означает, что представляет собой ф. р. на окружности единичного радиуса, причем

где периодическая функция, минимально возможный период которой равен т. е. распределению отвечает частота Итак, формулы

устанавливают взаимно однозначное соответствие между распределениями с частотами 1 и Поскольку ф. р. сл. угла определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной, то в общем случае следовало бы к правым частям (3.5.1)

прибавить соответственно. Иными словами, взаимно однозначное соответствие между распределениями с частотами 1 и можно трактовать как взаимно однозначное соответствие между функциями распределения с точностью до произвольных аддитивных постоянных.

В случае непрерывных распределений из (3.5.1) следует, что п. р. в. , соответствующие распределениям и связаны соотношениями

Например, если -плотность распределения Мизеса то плотность соответствующего высокочастотного распределения Мизеса с частотой выражается формулой

Эта п. р. в. впервые изучалась Арнольдом (1941) для случая

Характеристические функции распределений соответственно выражаются формулами

Поскольку функция периодична с периодом, то при причем согласно (3.5.1)

Действительно,

Итак, если — сл. угол, подчиняющийся распределению то угол, подчиняющийся распределению Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, так как в общем случае отношение не является случайным углом (дробная часть отношения не является сл. в.). Однако, если мы дополнительно предположим, что есть сл. угол, не зависящий от сл. угла и подчиняющийся дискретному равномерному распределению, сосредоточенному в точках отношение будет

представлять собой сл. угол, подчиняющийся высокочастотному распределению Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть дробную часть отношения которая выражается формулой

где

Пусть произвольное число из полуинтервала В таком случае

причем в силу независимости сл. в. и

если

где Так как независимы, причем

то согласно результатам, установленным в п. 3.1.1,

и значит, в силу второй формулы угол подчиняется высокочастотному распределению с частотой

3.5.2. Представление высокочастотных распределений в виде свертки дискретного равномерного распределения и распределения с частотой, равной единице. В приложениях часто встречаются сл. углы, представляющие собой сумму независимых

углов и причем подчиняется дискретному равномерному распределению, сосредоточенному в точках Если распределению сл. угла О соответствует с частотой, равной единице, то сумма подчиняется высокочастотному распределению с частотой, равной Действительно, ф. р. суммы выражается формулой

Поскольку то

откуда следует, что функция высокочастотного распределения с частотой, равной причем согласно первой формуле (3.5.1) и (3.5.5)

Если сл. угол распределен непрерывно и соответствующая п. р. в. есть то из (3.5.6) следует, что распределения непрерывны, причем

Покажем теперь, что для любого высокочастотного распределения найдется распределение удовлетворяющее формуле (3.5.5). Пусть угол, с. и пусть дробная часть сл. угла Зафиксируем одно из чисел и рассмотрим сл. угол дробная часть которого есть угла выражается формулой

Пусть угол, подчиняющийся дискретному равномерному распределению, сосредоточенному в точках и не зависящии от В таком случае ф. р. суммы совпадает с выражением в правой части (3.5.5), где в качестве следует использовать С другой стороны,

причем подчиняется тому же равномерному распределению, что и Таким образом, без ограничения общности можно считать, что дробная часть сл. угла есть Как и в п. 3.5.1, отсюда следует, что соответствующая ф. р. с точностью до произвольной аддитивной постоянной есть Тем самым доказано, что для любой справедливо представление (3.5.5), где в качестве можно использовать Такое представление неединственно уже хотя бы потому, что в формуле произвольное число, возможные значения которого суть .

Пусть распределений соответственно. Из формулы (3.5.5) следует, что

поэтому

3.5.3. Характеристики расположения и рассеяния высокочастотных распределений. Если бы представление (3.5.5) устанавливало взаимно однозначное соответствие между то в качестве характеристик расположения и рассеяния высокочастотного распределения разумно было бы принять круговые средние значения и круговую дисперсию сл. углов где угол с ф. p. . Понятно, что в общей ситуации такое определение числовых характеристик не является однозначным. Для преодоления этого затруднения сузим задачу и рассмотрим

принадлежащую параметрическому семейству Предположим, что функция высокочастотного распределения имеет вид

причем между ф. р. и значениями параметров существует взаимно однозначное соответствие. В этой обстановке условимся называть компонентами высокочастотного распределения заданного формулой (3.5.9). Пусть тригонометрический момент порядка вычисленный по распределению

причем, как и прежде, условимся обозначать В таком случае указанным компонентам высокочастотного распределения соответствуют круговые средние значения

и круговая дисперсия а Без ограничения общности можно считать, что

В дальнейшем условимся называть совокупность чисел

вектором круговых средних значений, а величину круговой дисперсией одной компоненты высокочастотного распределения, однозначно представимого формулой (3.5.9) с компонентами из семейства

Рассмотрим теперь второй случай, когда принадлежит семейству т. е. Распределению поставим в соответствие сопровождающее высокочастотное распределение, ф. р. которого выражается формулой

где значения выбираются таким образом, чтобы совпадали начальные тригонометрические моменты первого порядка, вычисленные по и

Иными словами, решение уравнения или, что то же самое,

В дальнейшем будет предполагаться, что решение первого уравнения (3.5.11) существует и единственно.

Таким образом, сопровождающему высокочастотному распределению соответствует вектор круговых средних значений

где без ограничения общности можно считать, что Круговая дисперсия одной компоненты распределения есть определяются формулами (3.5.11)). Вектор (3.5.12) назовем вектором круговых средних значений, а величину круговой дисперсией одной компоненты высокочастотного распределения

Рассмотрим несколько примеров применения формул (3.5.11) и (3.5.12).

(1) Кардиоидное семейство Легко можно убедиться, что при любом целом и любом допустимом значении и (3.5.10) — функции равномерного распределения. Следовательно, между и значениями параметров нет взаимно однозначного соответствия, и значит, сформулированные выше определения числовых характеристик расположения и рассеяния высокочастотного распределения к данному случаю неприменимы.

(2) Вырожденное семейство Так как при любом действительном справедливо тождество

то

Иными словами, в данном случае и сопровождающее распределение совпадают, причем Таким образом, согласно (3.5.12) вектор круговых средних значений есть

круговая дисперсия одной компоненты распределения равна нулю.

(3) Семейство намотанных нормальных распределений Положим где Согласно результатам, изложенным в п. 3.4.8d, в данном случае поэтому уравнения (3.5.11) имеют вид

Итак, причем если положить то Поэтому в силу (3.5.12) компоненты вектора круговых средних значений суть круговая дисперсия одной компоненты высокочастотного распределения выражается формулой

(4) Семейство намотанных распределений Пуассона. Согласно результатам, изложенным в п. 3.4.8с, для намотанных распределений Пуассона

где К — параметр исходного распределения Пуассона и количество равноотстоящих точек на окружности, в которых сосредоточено соответствующее намотанное распределение. Положим где В силу

уравнений (3.5.11)

Если то Следовательно, компоненты вектора круговых средних значений суть круговая дисперсия одной компоненты высокочастотного распределения выражается формулой

Так как то при приближенно выполняется соотношение (3.5.13).

(5) Семейство распределений Мизеса Согласно замечанию в конце распределение можно рассматривать как намотанное распределение, х. ф. которого есть Следовательно, уравнения (3.5.11) в данном случае имеют вид

Таким образом, компоненты вектора круговых средних значений суть Круговая дисперсия одной компоненты высокочастотного распределения есть

где решение уравнения Если велико, то согласно формуле (3.4.31)

т. е. а поэтому при достаточно большом

(6) Семейство намотанных распределений Коши. Как показано в п. 3.4.8е, для намотанного распределения Коши с параметром расположения X и параметром масштаба а

Следовательно, уравнения (3.5.11) в данном случае имеют вид а поэтому вектор круговых средних значении имеет компоненты

Круговая дисперсия одной компоненты высокочастотного распределения есть

Следовательно, для намотанного распределения Коши выражение существенно отлично от (3.5.13).

Приведенные примеры показывают, что формула (3.5.13) не является универсальной, и ее применение оправдано лишь тогда, когда результаты наблюдений позволяют заключить, что точность соответствующей аппроксимации может быть признана практически удовлетворительной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление