Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.6. Смеси и многовершинные распределения

Рассмотрим сл. пару где X - сл. в., распределение которой на числовой прямой выражается угол, условное распределение которого на окружности единичного радиуса при заданном значении выражается функцией распределения . В таком случае маргинальное распределение сл. угла называется смесью распределений по мере и соответствующая ф. р. выражается формулой

Если сл. в. X дискретна (без ограничения общности можно считать, что возможные значения этой сл. в. суть и условные распределения непрерывны, то смеси выражается формулой

где - п. р. в. условного распределения

Пусть соответствующая условному распределению сл. угла при заданном значении т. е. таком случае смеси выражается формулой которая для дискретной сл. в. X имеет вид

В этом параграфе основное внимание будет уделено двукомпонентным смесям непрерывного типа, для которых X принимает лишь два значения и 2. При этом будет предполагаться, что где -некоторая п. р. в. на окружности. Пусть тогда для этого частного случая формула (3.6.1) будет иметь вид

Таким образом, без ограничения общности можно считать, что

Предположим, что функция обладает непрерывной второй производной, и постараемся выяснить, при каких значениях к найдутся соответствующие удовлетворяющие уравнениям Рассмотрим решение системы (3.6.3) при произвольном к из полуинтервала

Это решение будет представлять собой п. р. в. тогда и только тогда, когда для почти всех из полуинтервала справедливо неравенство Из (3.6.3) следует, что

поэтому, полагая

а также замечая, что можно (3.6.4) выразить равенством

Следовательно, решение (3.6.4) будет неотрицательным почти при всех тогда и только тогда, когда неравенство справедливо для почти всех из множества

Пусть (указанная нижняя грань вычисляется по всем 9 из множества и обладает следующим свойством: почти для всех для всякого найдется такое множество целиком принадлежащее и имеющее положительную меру, что для всех В таком случае почти при всех Следовательно, неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

Итак, представима в виде смеси

тогда и только тогда, когда причем если то такое представление при каждом X единственно, и выражается формулой (3.6.4).

Это представление с возможно лишь в том случае, когда что, в свою очередь, означает, что почти для всех 0. Иными словами, представление (3.6.6) с возможно лишь тогда, когда периодическая функция с периодом целое положительное число), т. е. по терминологии предыдущего параграфа плотность высокочастотного распределения с четной частотой. При этом определяется неединственным образом. Например, в качестве такой п. р. в. можно выбрать при доопределив эту функцию нулем при Все остальные возможные п. р. в. будут выражаться формулой

где любая интегрируемая функция, равная нулю при и удовлетворяющая неравенствам при

Пусть соответствующие в представлении (3.6.6). В таком случае в силу если четное, и если нечетное. Сумма (3.6.5) представляет собой п. р. в. сл. угла поэтому функция является плотностью высокочастотного распределения, которому соответствует х. ф. , равная при четном и равная нулю при нечетном.

При решении практических задач часто стремятся представить двувершинного распределения в виде суммы (3.6.6), где выбор X должен быть осуществлен таким образом, чтобы была одновершинной. Такое представление при возможно лишь тогда, когда одновершинна. Если же то, как уже упоминалось, и согласно (3.6.4) при любом X из полуинтервала выполняется равенство Поэтому одновершинной может быть лишь при (примером такой функции может служить о которой говорилось выше). Рассмотрим несколько примеров. Пусть

Эта п. р. в. двувершинна с модами в точках и и антимодами в точках Поскольку в данном случае то представление (3.6.6) возможно при Так как согласно (3.6.4)

и эта п. р. в. одновершинна с модой в точке 0 и антимодой в точке , то задача о представлении в виде смеси (3.6.6) с одновершинными компонентами решена. Рассмотрим теперь п. р. в.

Поскольку то сразу видно, что

где плотность распределения Мизеса Тем самым установлено, что для справедливо представление (3.6.6) с и значит, плотность высокочастотного распределения с Указанное представление неединственно (например, в качестве можно взять функцию, равную при и равную нулю при

Многовершинные распределения Мизеса. Многовершинные распределения можно строить с помощью распределений, заданных на [0, целое число). Для этого нужно продолжить соответствующую п. р. в. как периодическую функцию на полуинтервал и поделить результат на В частности, п. р. в. распределения Мизеса на задается выражением

поэтому соответствующая п. р. в. многовершинного распределения Мизеса есть

Это распределение является высокочастотным с оно имеет мод График такой п. р. в., соответствующий значениям изображен на рис. 3.5.

Подобно тому, как это было указано в п. 3.4.9f, можно доказать, что многовершинное распределение Мизеса обладает характеризационным свойством: решение уравнения

является наиболее правдоподобной оценкой для параметра плотности тогда и только тогда, когда эта плотность выражается формулой (3.6.8).

Если велико, то распределение, заданное п. р. в. (3.6.8), аппроксимируется распределением (см. п. 3.4.9с), причем

При больших значениях п. р. в. (3.6.7) удовлетворительно аппроксимируется плотностью (3.6.8), со значениями параметров замененным на

Рис. 3.5.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление