Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.7. Круговое стандартное отклонение, асимметрия и эксцесс

3.7.1. Круговое стандартное отклонение. Как было показано в п. 3.4.8d, в случае намотанного нормального распределения круговая дисперсия и дисперсия исходного нормального распределения связаны равенством Распространим это равенство на все распределения на окружности и назовем круговым стандартным отклонением величину

возможные значения которой принадлежат неотрицательной полупрямой условимся значение а обозначать символом Далее, как показано в п. 3.5.2, в случае высокочастотного распределения, построенного по намотанному нормальному, круговая дисперсия одной компоненты равна Согласно (3.7.1) это означает, что распределению одной компоненты соответствует круговое стандартное отклонение

Эту формулу мы также распространим на все и примем по определению, что если сл. угол подчиняющийся распределению имеет круговое стандартное отклонение а, то круговое стандартное отклонение одной компоненты высокочастотного распределения при любом выражается формулой

По сути дела основой этих определений служит формула (3.5.13), которая является точной лишь для намотанного нормального распределения. Пусть на прямой, заданная относительно некоторой -конечной меры Рассмотрим семейство распределений где а — параметр масштаба характеризующий рассеяние. П. р. в. намотанного распределения, построенного по указанной плотности выражается формулой

Ясно, что при фиксированном значении а плотность не может быть восстановлена однозначно по известной плотности Однако, если известна для всех а из сколь угодно малого полуинтервала то восстанавливается однозначно. Действительно, пусть соответствующая п. р. в. . В таком случае (см. п. 3.4.8в) х. ф. намотанного распределения есть

чит, для любого действительного найдется такое значение что будет удовлетворять неравенству будет известна при всех действительных По теореме о взаимно однозначном соответствии между распределениями и характеристическими функциями отсюда следует однозначность определения плотности

В этом смысле можно говорить об информации, которую несет в себе намотанное распределение, относительно параметра рассеяния а исходного распределения на прямой. Иными словами, если круговая дисперсия распределения с плотностью то какое значение а соответствует данному значению В случае намотанного нормального распределения и формула (3.7.1) дает точный ответ на поставленный вопрос, выражая связь между Таким образом, в данной ситуации можно говорить просто о стандартном отклонении, а не о круговом стандартном отклонении, поскольку формула (3.7.1) выражает параметр рассеяния исходного нормального распределения.

Иной результат получается при рассмотрении распределений, отличных от нормального. Например, в случае намотанного распределения Пуассона (см. п. 3.4.8с), сосредоточенного на окружности в I равноотстоящих точках,

Дисперсия исходного пуассоновского распределения есть поскольку это распределение сосредоточено в точках По формуле (3.7.1) в данном случае в то время как стандартное отклонение пуассоновского распределения равно , т. е. формула (3.7.1) дает приближенное значение для стандартного отклонения на прямой. В п. 3.5.3 показано, что для высокочастотного распределения, построенного с помощью намотанного распределения Пуассона,

и по формуле Если последнее выражение подставить в (3.7.1) вместо а и определить соответствующее значение (обозначим его то мы получим формулу

Сравнение показывает, что формула (3.7.2) в данной ситуации может рассматриваться как приближенная. При больших значениях обе аппроксимации вполне удовлетворительны, а поэтому для намотанного распределения Пуассона круговое стандартное отклонение, определенное формулами (3.7.1) и (3.7.2), дает удобные оценки для параметра рассеяния исходного пуассоновского распределения на прямой. Можно было бы показать, что такое же заключение справедливо и для распределения Мизеса при больших значениях параметра

Рассмотрим теперь намотанное распределение Коши с параметром масштаба а. Как показано в пп. и 3.5.2, для такого распределения и Согласно формулам (3.7.1) и Если последнее выражение подставить в (3.7.1) и так же, как в предыдущем случае, найти то мы убедимся, что Следовательно, в случае намотанного распределения Коши круговое стандартное отклонение не может служить оценкой параметра рассеяния а исходного распределения Коши на прямой (в качестве таких оценок разумно было бы принять и

Таким образом, круговое стандартное отклонение, определенное формулами (3.7.1) и (3.7.2), представляет собой одну из характеристик рассеяния в случае распределений на окружности. Содержательное истолкование этой характеристики, основанное на аналогиях с характеристиками рассеяния на прямой, возможно лишь в случае распределений, близких к намотанному нормальному.

3.7.2. Коэффициент асимметрии. Как известно, обычной мерой асимметрии распределения на прямой является коэффициент асимметрии обращающийся в нуль для симметричного распределения. Как уже упоминалось в конце п. 3.3.4, для симметричного распределения на окружности поэтому по аналогии с предыдущей формулой представляется естественным выбрать в качестве коэффициента асимметрии величину

В пользу такого выбора можно привести следующие соображения: если то при малых распределение сл. угла X напоминает распределение на (малом) интервале прямой, и если коэффициент асимметрии этого распределения

положителен, то желательно, чтобы имело место соотношение

Используя разложения функций и в окрестности точки и полагая можно показать, что

откуда следует (3.7.4).

3.7.3. Коэффициент эксцесса. Поскольку то в качестве характеристики эксцесса можно было бы принять отношение Желательно, однако, чтобы для распределения Мизеса такая характеристика равнялась нулю. Центральный момент для мизесовского распределения выглядит несколько сложно, но поскольку это распределение хорошо аппроксимируется соответствующим намотанным нормальным, то в качестве характеристики эксцесса разумно принять величину 72, обращающуюся в нуль для намотанного нормального распределения. Следовательно, коэффициент эксцесса выражается формулой

Заметим, что — функции тригонометрических моментов первого и второго порядков. Неравенство для таких моментов, указанное в конце п. 3.3.1, можно выразить в терминах и 72.

Рассмотрим несколько примеров. Для распределения, заданного как легко убедиться, Если же п. р. в. выражается формулой

(постоянные должны быть выбраны так, чтобы интеграл от по полуинтервалу равнялся единице), то Для треугольного распределения, плотность которого выражается формулой (3.4.8),

Бачелет (1965), по-видимому, первым начал изучение мер асимметрии и предложил использовать второй центральный тригонометрический момент

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление