Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.8. Поправки к группировке

3.8.1. Общие формулы. Пусть - сл. в., подчиняющаяся в интервале непрерывному распределению с п. р. в. , и пусть требуется вычислить математическое ожидание функции Это математическое ожидание

с вычислительной точки зрения часто удобно аппроксимировать суммой

где

и

Иными словами, вычисляется по группированному (дискретному) распределению, сосредоточенному в точках которым соответствуют вероятности

Для исследования различия используем формулу Эйлера — Маклорена (см., нприйер, А. О. Гельфонд (1967), стр. 273) в предположении существования производной от порядка Эта формула выражается равенством

причем

где значение полинома Бернулли

в точке 1/2 и

Если значения производных от функции и в точках совпадают, что, в частности, верно при и производная ограничена, то

В этих условиях, учитывая выражение (3.8.2), после изменения порядка интегрирования в (3.8.4), убеждаемся, что

или, что то же самое,

где первообразная функции Иными словами, при малых можно считать, что отличается от примерно на столько, на сколько отличается от главного члена в правой части (3.8.4).

3.8.2. Формулы для тригонометрических моментов. Положим , В таком случае Пусть в интервале ( и пусть Тогда из (3.8.1), (3.8.2) и (3.8.3) следует, что

где соответствующая группированного распределения. Связь между этими х. ф. выражается приближенной формулой

Множитель перед в правой части (3.8.5) представляет собой х. ф. равномерного распределения в интервале поэтому можно заключить, что при малых группированное распределение ведет себя, как свертка исходного негруппированного распределения с равномерным.

Так как то из (3.8.5) следует, что

где

Формулы (3.8.6) показывают, что при вычислении должен учитываться поправочный множитель при вычислении же средних направлений поправки не нужны.

На практике формулы (3.8.6) приводят к заметному увеличению точности в случае симметричных и мало асимметричных распределений; для сильно асимметричных распределений поправки существенного значения не имеют.

Формулы (3.8.6) были получены Гринвудом (1959а) другим способом; Гилрой (1965) изучал эффект от применения указанных поправок для некоторых наиболее важных распределений на окружности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление