Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ТЕОРИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

§ 4.1. Введение

В §§ 4.2 и 4.3 мы продолжим рассмотрение основных свойств распределений на окружности и, в частности, получим теорему единственности и формулу обращения для х. ф., а также рассмотрим предельную теорему для последовательности сл. углов, центральную предельную теорему на окружности и теорему Пуанкаре, а затем коснемся выборочных распределений.

§ 4.2. Теоремы о характеристических функциях

4.2.1. Теорема единственности. Покажем, что на окружности однозначно определяется ее х. ф.

Одновременно получим и формулу обращения для Рассмотрим семейство функций

Поскольку последовательность ограничена, ряд (4.2.2) сходится к некоторой непрерывной функции от при всех Полагая находим, что (4.2.2) превращается в ряд Фурье

для плотности намотанного распределения Коши (см. (3.4.21)). Подставляя (4.2.1) в (4.2.2) и используя затем

(4.2.3), получим

Рассмотрим сумму независимых сл. углов I и где имеет п. р. в. , а имеет Независимо от того, имеет ли плотность, имеет п. р. в., которая согласно формуле свертки из п. 3.2.3 как раз и задается равенством (4.2.4). В данном случае

где порядок интегрирования переставлен на основании теоремы Фубини, а интегрирование и предельный переход — на основании теоремы о сходимости мажорируемой последовательности. Поскольку при распределение Коши стремится к распределению, вырожденному в нуле (см. п. т. е.

то

для всех 0, являющихся точками непрерывности Следовательно, ф. p. может быть получена предельным переходом (4.2.5), причем согласно (4.2.2) подинтегральная функция определяется х. ф. .

Поскольку значение при каждом есть тригонометрический момент порядка то наше утверждение означает, что тригонометрические моменты однозначно задают распределение на окружности. Напомним, что на прямой аналогичное утверждение неверно: (степенные) моменты, вообще говоря, не определяют распределение однозначно.

4.2.2. Формула обращения. Формула (4.2.5) и есть, по существу, искомая формула обращения. Перепишем ее в виде

где и — точки непрерывности Если ряд сходится, то имеет плотность удовлетворяющую почти всюду равенству

где Этот результат можно получить из теоремы Рисса — Фишера например, Титчмарш (1951), стр. 421).

Докажем теперь справедливость другой формулы обращения:

Действительно, поскольку -функция ограниченной вариации, то по критерию Жордана она разлагается в ряд Фурье

откуда с учетом условий следует, что

С помощью интегрирования по частям убеждаемся, что

и аналогично

Подставляя в (4.2.9), получаем (4.2.8).

4.2.3. Распределение полярных координат. Пусть интегрируемая х. ф. двумерного непрерывно распределенного

сл. вектора Выведем распределение сл. вектора где

По теореме обращения п. р. в. сл. вектора задается выражением

Используя (4.2.13) и полагая и

находим, что п. p. в. сл. вектора выражается формулой

Интегрируя по и меняя порядок интегрирования, получим п. р. в. сл. в. :

Но внутренний интеграл, очевидно, не зависит от и равен где стандартная функция Бесселя нулевого порядка:

Таким образом,

Интеграл (4.2.18) можно рассматривать как формулу обращения для распределения сл. в. R. Эту формулу можно переписать в виде

где

Выразим теперь с помощью Переписывая (4.2.15) в виде

и подставляя в (4.2.20), после интегрирования по получим

Эта формула задает преобразование Ганкеля функции Подобное использование преобразования Ганкеля рассматривал Лорд (1954). Формулу (4.2.21) можно получить также с помощью тождества (см. Ватсон (1949), стр. 499) для функций удовлетворяющих определенным условиям сходимости:

Пусть есть момент сл. в. R. Используя разложение (4.2.17), получим

Таким образом, по функции можно определить моменты В этом смысле можно называть производящей функцией моментов квадрата полярного радиуса.

Аналогично можно получить формулу обращения для п. р. в сл. угла Интересно отметить при этом, что производящая функция моментов есть

где действительная часть х. ф. сл. угла

Распределение модуля суммы случайных векторов. Предположим, что независимые сл. углы имеют п. р. в.

соответственно. Укажем выражения для п. р. в.

заданные постоянные). Совместная есть

где совместная х. ф. сл. в. , т. е.

Поэтому, согласно формуле обращения (4.2.18), п. р. в. сл. в. R есть

Эта формула будет использована для получения в различных конкретных ситуациях.

4.2.4. Дальнейшие свойства характеристических функций

(а) Неравенство для моментов, приведенное в конце п. 3.3.1, может быть обобщено следующим образом. Поскольку

при всех комплексных то

т. е. последовательность положительно определена. Поэтому, если то детерминант порядка неотрицателен:

для всех распределений на окружности. Для симметричных распределений

Наоборот, если последовательность положительно определена и то она представляет собой х. ф. распределения на окружности. Если, кроме того, при при то соответствующее распределение дискретно и сосредоточено в точках. Эти утверждения

принадлежат Гурвицу (1903) и Герглотцу (1911). Доказательства можно найти в книге Шохата и Тамаркина (1943), стр. 7.

(b) Определим функцию устойчивого распределения на окружности с помощью следующего ее свойства по отношению к операции свертки, обозначаемой символом

Пусть соответствующая функции устойчивого распределения, и пусть Тогда и решениями этого уравнения являются либо либо В соответствии с этим в первом случае устойчивым оказывается лишь непрерывное равномерное распределение на окружности, а во втором случае — дискретное равномерное распределение, сосредоточенное в точках (см. пп. 3.4.3 и 3.4.4).

(c) Равенство Парсеваля для произведения двух плотностей соответственно выражается формулой (см. Титчмарш (1951), стр. 469)

В частности,

(d) Согласно теореме Римана — Лебега (Титчмарш (1951), стр. 449), если непрерывного распределения, то

Для дискретного распределения

Эти результаты могут быть выведены из соответствующих результатов на прямой (Лукач (1970), стр. 19—20) посредством отображения окружности на полуинтервал Аналогично, для сингулярных распределений

Далее (см. Лукач (1970), стр. 17—18), распределение является решетчатым тогда и только тогда, когда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление