Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.3. Предельные теоремы

4.3.1. Теорема непрерывности (теорема Каратеодори). Пусть последовательность последовательность соответствующих ф. р. Тогда из сходимости следует, что

где предельной Обратно, если сходящаяся последовательность при каждом то сходится к некоторому пределу в каждой точке непрерывности причем и ее х. ф. совпадает с

Прямое утверждение непосредственно вытекает из второй теоремы Хелли (Лукач (1970), стр. 45). Обратное утверждение также легко получить: последовательность слабо компактна (Лоэв (1962), стр. 492), т. е. из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой в каждой точке ее непрерывности. Пусть две такие подпоследовательности, которые сходятся к соответственно, и пусть этих предельных распределений. Но тогда согласно прямому утверждению при

В силу сходимости последовательности имеет место равенство и следовательно (по теореме единственности), во всех точках непрерывности.

4.3.2. Центральная предельная теорема.

4.3.2а. Равномерное распределение. Пусть независимые одинаково распределенные сл. углы с ф. р. . Покажем, что распределение суммы

стремится к равномерному, если не является функцией решетчатого распределения.

Пусть соответствующая Поскольку распределение нерешетчатое, то согласно для всех иными словами, х. ф. распределения суммы стремится к нулю при всех т. е. согласно (3.4.5) — к х. ф. равномерного распределения. В силу теоремы непрерывности, распределение суммы стремится к равномерному.

Теорема. Если функция решетчатого распределения и нуль принадлежит множеству точек решетки, то распределение суммы (4.3.2) стремится к равномерному дискретному распределению, сосредоточенному в точках той же решетки.

Доказательство. Согласно определению, данному в п. 3.4.3, дискретное распределение сл. угла называется решетчатым, если

где фиксированный угол и неотрицательные числа, в сумме равные единице; отношение называется шагом решетки -фиксированное целое положительное число; если то распределение является вырожденным, сосредоточенным в точке Решетчатое распределение с шагом одновременно является решетчатым с шагом ( — любое целое положительное число). В дальнейшем для определенности условимся называть шагом решетчатого распределения наибольшее возможное значение

Пусть такие номера точек решетки, для которых положительны Числа и I можно представить в виде произведений целых положительных чисел где взаимно просты. Пусть наименьшее общее кратное множества чисел Если шаг решетки увеличить нельзя; если же то наибольший возможный шаг равен (в этом случае целое число).

Условимся также говорить, что нуль принадлежит множеству точек решетки с наибольшим возможным шагом если такого распределения выражается формулой

следовательно, при Покажем, что в данном случае тогда и только тогда, когда

Действительно, согласно (4.3.3)

поэтому, учитывая, что можно сделать вывод, что при тех и только тех целых значениях которые удовлетворяют уравнению или, что то же самое, уравнению

Если то (4.3.4) справедливо при всех если же то в левой части отличны от нуля лишь те слагаемые, для которых причем согласно введенным ранее обозначениям уравнение (4.3.4) можно записать в виде

где суммирование осуществляется лишь по тем значениям для которых Следовательно, целочисленнными решениями этого уравнения являются те и только те которые представимы в виде (напомним, что, в силу предложения о максимальности шага решетки, общее наименьшее кратное чисел причем все пары чисел взаимно просты).

Тем самым установлено, что тогда и только тогда, когда Итак, если причем ранее было замечено, что при суммы (4.3.2) есть поэтому если то 1 при а при остальных значениях предел равен нулю. Это означает, что предел представляет собой х. ф. равномерного дискретного распределения, сосредоточенного в точках исходной решетки. В силу однозначного соответствия х. ф. и распределений отсюда следует справедливость утверждения теоремы.

Если нуль не принадлежит множеству точек решетки (т. е. где максимально возможный шаг решетки), то сходимость распределения суммы (4.3.2) к дискретному равномерному распределению, сосредоточенному в точках той же решетки, не имеет места. Рассмотрим, например, распределение

где Если четное число, то а поэтому предел функции при не существует.

4.3.2Ь. Намотанное нормальное распределение. Выше мы рассматривали предельное распределение для суммы не

пользуясь нормировкой. Теперь мы получим предельную теорему, когда слагаемые нормируются множителем

Пусть независимые сл. углы, одинаково распределенные в полуинтервале и имеющие Предположим, что Тогда распределение нормированной суммы

стремится к намотанному нормальному распределению с параметром Если в выражении для х. ф. суммы

синусы и косинусы разложить в ряды, то можно убедиться, что

Следовательно,

что согласно (3.4.19) и дает желаемый результат. Заметим, что если п. р. в. задана разложением

то, как легко видеть,

В частности, для кардиоидного распределения

Мы рассмотрели центральную предельную теорему для одинаково распределенных слагаемых. Случай неодинаково распределенных слагаемых рассматривался в работе Леви (1939), а также Дворецкого и Вольфовица (1951). В последней речь идет углах с дискретным распределением. Теорема на окружности типа теоремы Линдеберга может быть получена из подобной теоремы на локально компактной абелевой группе (см. Партасарати (1967), стр. 115—116); предельным в этом случае является намотанное нормальное распределение.

В заключение отметим, что предельное распределение выборочного кругового среднего (см. § 4.9) отличается от предельного распределения для

4.3.3. Теорема Пуанкаре. Рассмотрим иглу, свободно вращающуюся вокруг оси, установленной в центре диска единичного радиуса. Пусть игла приводится во вращение некоторым случайным усилием. Каково распределение точки остановки конца иглы на окружности диска? Эту задачу рассматривал Пуанкаре (1912) в качестве иллюстрации некоторого общего результата. Пусть X обозначает путь, пройденный концом иглы по окружности, тогда угловая координата конца иглы в момент остановки. Следовательно, речь идет о распределении сл. угла Результат Пуанкаре состоит собственно в том, что чем более «размазано» распределение сл. в. X, тем ближе распределение сл. угла к равномерному.

Выразить «размазанность» распределения можно многими способами. Например, рассмотрим Покажем, что распределение сл. угла стремится к равномерному при Действительно, пусть Тогда х. ф. сл. угла есть Поскольку X имеет непрерывное распределение, то используя (4.2.30), убеждаемся, что

откуда и следует справедливость утверждения. Подобные утверждения мы уже имели для намотанного нормального распределения (п. 3.4.8d) при и для намотанного распределения Коши при Феллер (1966, стр. 83) предложил другую версию этого утверждения в предположении, что максимум плотности сл. в. X мал.

4.3.4. Распределение первой значащей цифры. Рассмотрим распределение первой значащей цифры числа X, выбранного наугад из широкой совокупности (например, из какого-либо статистического отчета). Предполагая X случайной величиной, рассмотрим

Согласно теореме Пуанкаре эта величина имеет распределение, близкое к равномерному, поскольку распределение сильно «размазано»: статистические отчеты обычно содержат числа из широкого диапазона. Тогда

Этот результат принадлежит Пинкхему (1961), который обсуждал возможные приложения к задачам получения псевдослучайных чисел. Ранее Бенфорд (1938) пришел к этой модели при анализе большого эмпирического материала.

Таблица 4.1 (см. скан) Частоты первых значащих цифр большой совокупности чисел в одном из выпусков Ридерс Дайджест (Бенфорд (1938))

В табл. 4.1 воспроизведен один из его примеров, содержащий результат полного подсчета (исключая даты и номера страниц) по всем числам в одном из выпусков Ридерс Дайджест. Статистика в данном случае оказалась равной 3.30 при восьми степенях свободы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление