Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.4. Изотропное случайное блуждание на окружности

4.4.1. Общее описание. Предположим, что дискретное случайное блуждание на плоскости начинается в точке (0,0). Пусть длины последовательных шагов и пусть их направления относительно фиксированной оси иксов. Предполагается, что независимые сл. углы, распределенные одинаково равномерно, т. е.

Мы хотим получить распределение расстояния от положения после шага до начала (0,0), предполагая, что фиксированы. Пусть абсцисса и ордината блуждающей точки после шага, т. е.

так что расстояние до начала координат есть Обрзначим направление начала координат в блуждающую

точку после шага, Ясно, что если все одинаковы, то выборочное круговое среднее направление.

4.4.2. Распределение m и R. Используя формулы из п. 4.2.3, получим сначала выражение для п. р. в. сл. в. R. Согласно (4.4.1), (4.2.15) и (4.2.26) находим, что совместная есть

Этот интеграл не зависит от так что Следовательно, совместная есть

и не зависит от Подставляя (4.4.3) в формулу обращения (4.2.27), получим для

Вместе с тем из (4.2.16) следует, что в данном случае распределено равномерно, причем независимы. Заметим, что поскольку сл. в. R не может принимать значений, превышающих то интеграл (4.4.4) обращается в нуль при

Случай равных При (4.4.4) превращается в

В силу (4.2.20) и (4.4.3) производящая функция моментов квадрата полярного радиуса в рассматриваемом случае есть х. ф. .

Согласно поэтому из (4.4.5) следует, что ф. р. случайной величины выражается формулой

При

поскольку имеет, очевидно (см. п. 3.4.4), равномерное распределение. Следовательно,

При п. р. в. может быть выражена с помощью эллиптических функций, а именно

где

Если

Вывод равенств (4.4.8) можно найти в работе Стефенса (1962). Для были вычислены К. Пирсоном (1906), который указал для них также разложения Фурье, использованные позже Гринвудом и Дурандом (1955) для табулирования при Кроме того, Дуранд и Гринвуд (1957) рассмотрели несколько различных аппроксимаций. При больших п. ф. р. можно аппроксимировать распределением (см. § 4.9). Джонсон (1966) указал аппроксимацию с помощью бета-распределения, а Стефенс (1969с) с помощью кривых Пирсона.

Вышеизложенную модель случайного блуждания предложил К. Пирсон (1905) в письме в журнал «Нейчур». Некоторые асимптотические результаты были ранее получены Релеем (1880) и вновь опубликованы в ответе Релея (1905) на письмо К. Пирсона. Точные результаты были получены Клювером (1906); К. Пирсон (1906) дал другое доказательство результатов Клювера. Позднее эту модель вновь изучали Марков (1912) и Релей (1919).

4.4.3. Распределение случайных величин C и S. Согласно результатам предыдущего параграфа плотность совместного распределения сл. угла есть где функция, определенная формулой (4.4.5), и где аргумент 6, соответствующий сл. углу принимает значения из полуинтервала Следовательно, искомая плотность совместного распределения

выражается формулой

Маргинальные распределения сл. в. будут получены в п. 4.5.3.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление