Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.5. Распределения случайных величин C, S и R в случае распределения Мизеса

4.5.1. Совместное распределение случайных величине C и S. Пусть независимые сл. углы, подчиняющиеся одному и тому же распределению Мизеса

Плотность совместного распределения может быть получена интегрированием плотности совместного распределения сл. углов при фиксированных значениях Таким образом, искомая плотность выражается формулой

где интегрирование осуществляется по тем значениям для которых Интеграл в (4.5.2) равен, очевидно, поскольку он представляет собой плотность совместного распределения при (равномерно распределенных сл. углах Поэтому согласно (4.4.9)

Выводить маргинальные п. р. в. для из этого выражения неудобно, и для этого мы используем в п. 4.5.3 другой подход.

4.5.2. Распределение случайного угла m и случайной величины R. Полагая легко можно убедиться, что согласно (4.5.3) плотность совместного распределения сл. угла выражается формулой

Интегрируя эту функцию от до получим для п. р. в. сл. в. R выражение

где в., определенная формулой (4.4.5). Равенство интеграла от единице легко можно проверить с помощью формулы (4.2.22).

Выражение (4.5.4) получено Гринвудом и Дурандом (1955). Предельное распределение для и некоторые аппроксимации рассмотрены ниже в § 4.9.

Простое выражение для маргинальной п. р. в. сл. угла получить из п. р. в. , по-видимому, затруднительно. Зато легко можно убедиться, что условное распределение сл. угла при заданном значении есть распределение Мизеса

4.5.3. Маргинальные распределения случайных величин С и S

Для вычисления интеграла заметим, что

Таким образом,

Поскольку х. ф. сл. в. С есть то согласно формуле обращения п. р. в. сл. в. С есть

Производя контурное интегрирование по границе прямоугольника с вершинами и устремляя а к бесконечности, убеждаемся, что

или, что то же самое,

Если то мы получаем выражение, указанное Гринвудом и Дурандом (1955):

При приходим к выражению, полученному Лордом

П. р. в. сл. в. S можно получить из (4.5.7), заменяя на Таким образом, п. р. в. сл. в. S выражается формулой

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление