Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.6. Распределение выборочных характеристик в случае нескольких мизесовских выборок

Пусть одна из независимых выборок, компоненты которой независимые сл. углы, подчиняющиеся распределению Пусть, далее, соответственно выборочное круговое среднее направление и выборочная длина результирующей, вычисленные по выборке. Обозначим

Наконец, пусть соответственно выборочные круговое среднее направление и длина результирующей в объединенной выборке, т. е.

4.6.1. Распределение случайной величины R. В обозначениях (4.2.15) совместная х. ф. сл. в. есть

причем соответствующий интеграл после замены переменной интегрирования на можно переписать в виде

Используя равенство (4.5.6), можно убедиться, что

Поэтому совместная х. ф. сл. в. есть произведение

где

Подставляя (4.6.4) в формулу обращения (4.2.27), получим п. р. в. сл. в. R:

где

Можно убедиться (см. п. 4.6.3), что при выражение (4.6.5) совпадает с выражением (4.5.4).

4.6.2. Распределение случайного вектора (R, R*). Получим сначала условное распределение сл. в. R при заданном значении сл. вектора Поскольку согласно (4.5.5) условное распределение при заданном есть то совместная х. ф. для может быть получена из (4.6.3) заменой на соответственно. Следовательно, используя равенства (4.6.2), убеждаемся, что х. ф. для при заданном есть

Подставляя эту х. ф. в формулу обращения (4.2.27), получим плотность искомого условного распределения при заданном

значении вектора

где

Поскольку независимы, п. р. в. сл. вектора есть произведение плотностей (4.5.4); умножая это произведение на (4.6.7), получим плотность совместного распределения вектора

Наконец, деля выражение (4.6.9) на (4.6.5), получим плотность условного распределения сл. вектора при заданном

где функции задаются равенствами (4.6.6) и (4.6.8) соответственно. Надо признать, что функции эти весьма сложны и малоудобны в употреблении. Ниже мы рассмотрим два более простых частных случая.

4.6.3. Распределения в однородном случае. Пусть . В этом случае распределение сл. в. R определяется согласно (4.5.4). Сравнивая (4.5.4) и (4.6.5), получаем

где — вектор, составленный из единиц. Обратимся к Подходящим сдвигом всегда можно добиться равенства которое будем в дальнейшем считать выполненным. Преобразуя в декартовы координаты и проводя контурное интегрирование как в п. 4.5.3, получим

Переходя от к полярным координатам и используя равенство

которое можно получить из формулы суммирования (3.4.4) фон Неймана, находим, что

Теперь с помощью выражений (4.6.11) и (4.6.12) упростим выражения распределений, относящихся к случайному вектору Именно, согласно (4.6.10) для условной п. р. в. сл. вектора при заданном значении получаем формулу

Пусть Рассмотрим условное распределение сл. в. R при заданных значениях и В данном случае есть величина угла между направлениями тех векторов, длины которых суть причем сл. угол равномерно распределен в полуинтервале Поэтому плотность условного распределения сл. в. R при заданных значениях представляет собой отношение

где

Поскольку при совпадает с (4.6.7), то

Подставляя (4.6.16) в (4.6.13) при убеждаемся, что

где

Формула (4.6.17) получена Ватсоном и Вильямсом (1956), а формула (4.6.13) выведена в работе Дж. С. Рао (1969), который использовал подход Ватсона и Вильямса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление