Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.7. Моменты случайной величины R

4.7.1. Общий случай. Пусть независимые, одинаково распределенные сл. углы и пусть Тогда при и независимы. Далее,

где символом будет всюду обозначено суммирование по неравным индексам. При этом

где Возводя (4.7.1) в квадрат, получим

где

Последнюю формулу можно переписать в виде

Для первой суммы

где Аналогично, вычисляя средние значения остальных сумм, убеждаемся, что

Теперь нетрудно вычислить и дисперсию Именно,

В случае симметричного распределения так что

4.7.2. Случай распределения Мизеса. Если независимые сл. углы имеют распределение то в выражениях (4.7.4) и (4.7.5) Моменты более высокого порядка можно вычислять с помощью рекуррентного соотношения. Именно, пусть

где Дифференцируя ряды (3.4.44) для бесселевых функций, убеждаемся, что

Теперь, пользуясь выражением (4.5.4) для п. р. в. сл. в. R и производя дифференцирование по получаем

Если во втором равенстве заменить правой частью первого равенства и ее производной соответственно, то получим рекуррентное соотношение

где — первая и вторая производные от соответствующего момента по Согласно Остальные моменты можно вычислять по рекуррентной формуле (4.7.6).

4.7.3. Случай равномерного распределения. Для равномерного распределения с имеют место равенства

Поэтому из (4.7.4) и (4.7.5) следует, что

Непосредственное вычисление моментов сл. в. R с помощью п. р. в. - довольно трудная задача. Моменты удобнее

отыскивать с помощью производящей функции моментов квадрата полярного радиуса (см. п. 4.4.2), а также функции (4.2.23). Впрочем, есть и прямой способ, связанный с равенством (4.7.1). Именно, центральные моменты, сл. в. R выражаются формулой

Ввиду (4.7.7) ненулевой вклад в выражение третьего момента вносит лишь та часть разложения куба суммы которая представляет собой

где множитель 2 возник, поскольку произведение и приводится к произведению двумя путями: либо либо Таким образом,

При удобнее использовать начальные моменты

где Коэффициенты при ненулевых членах можно получить, разлагая по основным симметрическим функциям. Например, согласно работе Дэвид и др. ((1966), стр. 165—179),

где и т. д. Таким образом,

Используя (4.7.8), (4.7.9) и (4.7.10), получаем

В явном виде моменты при исходном равномерном распределении были получены Холдейном (1960). Элегантный вывод привел Джонсон (1966), изучавший значительно более общую проблему. Стефенс также вывел формулы для мохментов, но другим путем. Эти доказательства отличаются от доказательств, изложенных в данной книге.

В § 4.4 мы упоминали некоторые аппроксимации распределения сл. в. R в равномерном случае. При построении этих

аппроксимаций были использованы рассмотренные здесь моменты. Так, Джонсон (1966) использовал первые два момента для построения аппроксимации с помощью бета-распределения, а Стефенс (1969с) осуществил сглаживание с помощью кривых Пирсона.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление