Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.9. Предельные распределения угловых статистик

4.9.1. Совместное распределение случайных величин Согласно центральной предельной теореме при совместное распределение асимптотически нормально, причем в силу (4.8.1) — (4.8.3)

Именно эти выражения и следует использовать в качестве параметров асимптотического нормального распределения.

Разумеется, маргинальные распределения сл. в. С и 5 также асимптотически нормальны. В случае исходного равномерного распределения случайные величины асимптотически независимы и асимптотически подчиняются одному и тому же нормальному распределению

4.9.2. Распределение статистик случай: Если как мы увидим, совместное распределение статистик асимптотически нормально, причем в качестве значений параметров асимптотического нормального распределения можно использовать

Напомним, что эти выражения не обязаны равняться соответствующим моментам поэтому они отмечены буквой которая указывает, что речь идет не о моментах, а о значениях параметров асимптотического нормального распределения.

Прежде всего заметим, что если , то если же то Так как то подходящим выбором начала отсчета углов можно добиться положительности а, а тогда вероятность события с ростом будет стремиться к нулю. Таким образом, с вероятностью, стремящейся к единице, будет выполняться равенство Кроме того, разумеется, Следовательно, задача отыскания асимптотического распределения статистик сводится к задаче отыскания асимптотического распределения двух функций от асимптотически нормального сл. вектора

Лемма. Пусть вектор-столбец, распределение которого зависит от причем если то X асимптотически подчиняется нормальному распределению где и Пусть

— вектор-функция от X, все компоненты которой обладают в окрестности точки а ограниченными вторыми производными. В таком случае, если матрица ковариаций В от не зависит, ел. вектор при асимптотически подчиняется

нормальнону распределению где прямоугольная матрица, имеющая строк и столбцов, причем

Доказательство. Согласно формуле Тейлора

где - вектор-строка и квадратная матрица с элементами

причем -некоторая точка, удовлетворяющая неравенству

Поскольку вектор при имеет предельное распределение (t — вектор, все компонент которого равны единице) и вторые производные от всех функций ограничены, то последнее слагаемое в правой части (4.9.4) при сходится по вероятности к нулю. Следовательно, сл. вектор имеет предельное распределение, совпадающее с предельным распределением сл. вектора которое представляет собой Поэтому сл. вектор асимптотически подчиняется нормальному распределению, указанному в формулировке леммы.

Применим теперь эту лемму к нашему случаю. Для этого положим . В силу (4.9.1) матрица В выражается формулой

Кроме того, имеем

причем в некоторой окрестности точки вторые производные от в силу условия ограничены. Таким образом,

и, значит, согласно лемме и матрица имеет вид

Тем самым формулы (4.9.2) доказаны.

Симметричные распределения. Для распределений, симметричных относительно нуля, так что равенства (4.9.2) превращаются в

2-й случай: При условия леммы для не выполняются. Как мы увидим, в этой ситуации их асимптотическое распределение уже не является нормальным.

Сперва рассмотрим случай равномерного распределения. Тогда сл. угол также распределен равномерно Поскольку асимптотически независимы и нормально распределены со средним значением нуль и дисперсией 2, то статистика

асимптотически подчиняется распределению хи-квадрат с двумя степенями свободы.

Далее, пусть но предположим, что Вначале пусть снова асимптотически независимы и нормально распределены с нулевыми средними и дисперсиями

соответственно. Преобразуя в полярные координаты по формулам

получим асимптотическую плотность совместного распределения Интегрируя эту п. р. в. по найдем асимптотическую

где

П. р. в. сл. в. представляет собой п. р. в. бесконечной взвешенной суммы независимых сл. в. хи-квадрат с четным числом степеней свободы. Распределение статистики в рассматриваемом случае имеет вид (3.4.12). Можно показать, что и в случае распределение имеет вид (4.9.7), но с другими (см. Мардиа (1972)). Распределение нормированной имеет вид (4.9.7) с При это распределение, очевидно, превращается в равномерное.

Распределение (4.9.7) изучал Хоут (1947) в связи с другими задачами.

Таким образом, в отличие от случая асимптотическое распределение в случае не является нормальным. Это отличие имеет важные последствия для решения задач проверки гипотез и приводит обычно к раздельному изучению этих задач при

4.9.3. Случай распределения Мизеса. Пусть исходное распределение сл. углов есть и пусть Получим для этой ситуации несколько асимптотических результатов и обсудим некоторые аппроксимации.

(а) Поскольку здесь то совместное асимптотическое распределение получается из рассмотрений 1-го случая (п. 4.9.2). В силу равенства (3.4.33)

и мы можем записать асимптотическую дисперсию статистики в виде

Далее, согласно (4.9.5)

При больших выражения (4.9.9) упрощаются с помощью разложения (3.4.32):

Например,

(b) Распределение случайной величины Покажем, что при больших распределена как Для этого заметим, что если сл. угол имеет распределение то при больших приближенно подчиняется распределению хи-квадрат с одной степенью свободы. В самом деле, есть

Из (3.4.31) следует, что при больших

так что т. е. распределение при стремится к распределению

Распределение случайной величины Покажем, что при больших имеет распределение, близкое к распределению хи-квадрат с одной степенью свободы. Действительно, как легко видеть

Но согласно (4.5.5) условное распределение при заданном значении есть Используя теперь результат получаем, что при заданном распределена асимптотически как независимо от следовательно, и безусловное распределение асимптотически совпадает с распределением

Распределение случайной величины Рассмотрим тождество

Используя результаты пп. и теорему Кокрена, убеждаемся, что при асимптотически распределена как и что асимптотически независимы.

Этот важный результат есть частный случай результата Ватсона и Вильямса (1956) в пространстве больших размерностей, но их доказательство отличается от вышеприведенных рассуждений.

Результат, установленный в можно было бы получить, воспользовавшись равенством

которое совпадает с выражением для с той лишь разницей, что заменено оценкой Заметим также, что разложение (4.9.12) аналогично разложению суммы квадратов в однофакторном дисперсионном анализе.

(е) Уточнение аппроксимации распределения случайной величины Приближение распределения распределением как это указано в не вполне удовлетворительно при умеренных значениях При таких значениях предпочтительнее заменить множителем у, определяемым из условия

где справа стоит среднее значение для распределения -квадрат с степенями свободы. Поскольку то используя разложение (4.9.10), получим приближенную формулу

Стефенс (1969а) из некоторых других соображений получил аппроксимацию

которая может быть использована при именно, при таком значении у распределения удовлетворительно аппроксимируются распределениями хи-квадрат с количествами степеней свободы и 1 соответственно.

Распределение можно также аппроксимировать распределением где определяются следующими двумя условиями:

т.е. согласно (4.8.9) и (4.8.11)

В силу тождества (4.9.12) распределение приблизим распределением где

Следовательно, в свою очередь распределение сл. в. аппроксимируется распределением -квадрат с степенями свободы. Заметим, что при таком подходе степени свободы — дробные числа.

(f) Аппроксимации в случае многих выборок. Используем обозначения из § 4.5. Согласно вышесказанному, при больших распределены как соответственно Следовательно,

распределены приближенно как соответственно, и эти статистики асимптотически независимы.

Дальнейшие аппроксимации будут обсуждены в главе 6.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление