Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 5. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ

§ 5.1. Неравенства типа Крамера — Рао

Пусть случайный вектор, компоненты которого — сл. углы, и пусть случайного вектора зависящая от неизвестного параметра и представляющая собой при любом фиксированном периодическую функцию от с периодом (если компоненты сл. вектора распределены одинаково, то за параметр можно, например, принять угол, определяющий круговое среднее направление). Классическое определение несмещенной оценки непригодно при рассмотрении оценок параметра и мы введем следующую модификацию этого определения.

Пусть полярные координаты некоторого вектора на плоскости, являющегося функцией от и не зависящего от Кроме того, пусть заданы две функции определенные при всех допустимых значениях и такие, что условное математическое ожидание комплексной при заданном значении существует. Условимся статистику называть ( несмещенной оценкой параметра если относительно справедливо тождество

Итак, если есть ( несмещенная оценка для то из (5.1.1) следует, что

где плотность условного распределения сл. вектора при заданном значении функции элемент поверхности с уравнением по которой производится

интегрирование. Кроме того, разумеется, всегда справедливы следующие тождества относительно

где

Для получения неравенства типа Крамера — Рао можно теперь действовать так же, как на прямой. Примем в качестве характеристики отклонения оценки от неизвестного параметра отношение,

котороеусловимся называть дивергенцией при наблюденном значении

Теорема. Если подынтегральные функции в (5.1.2) и (5.1.3) дифференцируемы по и производные от интегралов равны интегралам от производных, то для любой -несмещенной оценки параметра справедливо неравенство

где

Неравенство (5.1.5) обращается в равенство тогда и только тогда, когда с вероятностью, равной единице,

где функции, зависящие лишь от

Доказательство. Прежде всего заметим, что

где - п. p. в. сл. в. следовательно, учитывая, что от не зависят, мы можем записать равенство

причем согласно условию теоремы

Рассмотрим произвольное число). В силу равенств (5.1.2), (5.1.3) и поэтому

Дифференцируя (5.1.2) по убеждаемся, что согласно (5.1.7)

Поэтому, полагая и учитывая, что приходим к неравенству

правая часть которого достигает максимума относительно в точке

Итак, для любой - несмещенной оценки параметра справедливо неравенство

Тем самым в силу определения (5.1.4) неравенство (5.1.5) доказано.

Неравенство (5.1.8) обращается в равенство тогда и только тогда, когда что возможно лишь в том и только в том случае, когда с вероятностью, равной единице, т. е. когда

Если это равенство справедливо, то в силу (5.1.7) имеет место представление (5.1.6). Наоборот, если справедливо представление (5.1.6), то в силу (5.1.7)

т. е. в этом случае имеет место равенство (5.1.9). Теорема доказана.

Наиболее важными частными случаями модифицированного понятия несмещенности являются -несмещенные и -несмещенные оценки. В первом случае т. е. распределение совпадает с и согласно (5.1.1) оценка является несмещенной, если причем в силу где Это неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда имеет место представление

В случае -несмещенности и оценка называется несмещенной, если Так как то -несмещенная оценка является одновременно и -несмещенной оценкой. Действительно, если есть -несмещенная оценка для то Поэтому в первом случае несмещенность называют слабой, а во втором — сильной (сильная несмещенность влечет за собой слабую; обратное утверждение, вообще говоря, неверно).

Если имеет место сильная несмещенность (т. е. если то в силу где

причем указанное неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда имеет место представление

Сравнение (5.1.10) и (5.1.11) показывает, что если сильно несмещенная оценка для значит, одновременно слабо несмещенная оценка) и имеет место представление (5.1.10), то справедливо и (5.1.11). Поэтому в этой ситуации оба неравенства для дивергенции обращаются в равенства.

В качестве примера рассмотрим независимых сл. углов подчиняющихся одному и тому же распределению

Мизеса с п. р. в.

где заданные числа Полагая получим для вектора

которая относительно неизвестного является периодической функцией с периодом причем

Пусть функции, определяемые равенством или, что то же самое,

Следовательно, согласно (5.1.12)

причем поскольку условное распределение при заданном есть т. е. сильно (а значит, и слабо) несмещенная оценка для Кроме того, справедливо представление (5.1.10), в котором согласно а также справедливо представление (5.1.11), в котором следует положить Следовательно, является несмещенной оценкой для как в сильном, так и в слабом смысле, и в каждом из этих двух случаев соответствующие неравенства Крамера — Рао обращаются в равенства:

Таким образом, в случае одновершинного или многовершинного распределений Мизеса неулучшаемая слабо и сильно несмещенная оценка для неизвестного причем выборочное круговое среднее значение сл. углов

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление