Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.4. Распределение Мизеса

5.4.1. Наиболее правдоподобные оценки. Пусть независимые сл. углы, подчиняющиеся одному и тому же распределению где неизвестны. В этом случае логарифм функции правдоподобия выражается равенством

Дифференцируя (5.4.1) по и используя равенство убеждаемся, что

Из этих уравнений следует, что наиболее правдоподобная оценка параметра удовлетворяет уравнениям

Наиболее правдоподобная оценка параметра есть решение уравнения

Таблицы функций приведены в приложениях 2 и 3.

Напомним, что Для значений близких к или к 1, можно указать приближенные выражения оценки Так, при малых в силу разложения (3.4.30)

Решая это уравнение относительно получим приближенное значение

которое дает по меньшей мере два точных знака при При значениях близких к единице, с помощью разложения (3.4.32) можно использовать приближение

откуда следует аппроксимация

которая дает по меньшей мере три верных знака при

Пример 5.1. Вычислим наиболее правдоподобные оценки параметров по данным примера 2.1, где ранее было найдено, что Из таблицыв приложении 3 следует, что при и при . С помощью линейной интерполяции находим Наиболее правдоподобная оценка кругового среднего направления по данным примера 2.1 есть

Пример 5.2. В табл. 5.1 приведены значения углов исчезновения почтовых голубей в эксперименте с воздействием на «внутренние часы» птиц (Шмидт-Кениг (1965)). Вычислим по этим данным наиболее правдоподобные оценки для и проверим согласие с распределением Мизеса. В данном случае поэтому . Из таблицы в приложении 3 находим, что Вычисленные с помощью этих оценок ожидаемые частоты приведены для соответствующих интервалов в табл. 5.1.

Таблица 5.1 (см. скан) Значения углов исчезновения почтовых голубей (Шмидт-Кениг (1965; рис. 243)) и ожидаемые частоты, соответствующие распределению Мизеса

Эти вычисления осуществлены с помощью таблицы функции распределения в приложении 1. Значение статистики критерия хи-квадрат (с девятью степенями свободы) равно 10,21, так что согласие можно считать удовлетворительным. Гипотеза же равномерной распределенности аналогичным критерием отвергается, поскольку статистика критерия принимает значение 51,27.

Пример 5.3. Вычислим оценки для и проверим согласие данных табл. 1.2 с двувершинным распределением Мизеса. Иначе говоря, проверим согласие статистического распределения удвоенных углов с распределением Мизеса. В данном случае Таким образом, согласно таблице приложения Как и в примере 5.2, вычислим ожидаемые частоты для проверки согласия, а затем — статистику критерия хи-квадрат (см. таблицу 5.2). Ее значение оказывается равным 24,65 при 15 степенях свободы, тогда как Таким образом, при -ном уровне значимости гипотезу о распределении Мизеса следует принять. Гипотезу о равномерности распределения снова безусловно следует отвергнуть: статистика критерия в этом случае принимает значение 140,00.

Таблица 5.2 (см. скан) Наблюденные частоты ориентации песчинок и ожидаемые частоты, вычисленные по двувершинному распределению Мизеса

Другие примеры проверки согласия расцределения Мизеса с конкретными метеорологическими, медицинскими и экономическими данными можно найти в работе Гамбела (1954).

Асимптотические свойства. Рассмотрим теперь некоторые асимптотические свойства оценок и Поскольку согласно (5.4.2)

то при больших

что, впрочем, уже указано в (4.9.8). Далее, с помощью соотношений между функциями Бесселя и их производными можно показать, что

Таким образом, при больших оценки асимптотически независимы и нормально распределены со средними и дисперсиями (5.4.7) и (5.4.8) соответственно. Поскольку то выводы, изложенные в п. 4.9.3, относятся и к этой оценке. В частности, используя главные члены разложений (3.4.30) и (3.4.32), убеждаемся, что малых в то время как при больших Такая зависимость дисперсии от естественна: при малых распределение Мизеса близко к равномерному, и оценивается с небольшой точностью. Этот же вывод можно получить из точного выражения круговой дисперсии сл. угла

Согласно лемме из п. 4.9.2 асимптотическое среднее оценки есть

где первая и вторая производные А по Подставляя вместо выражение (4.9.9), получим

где Таким образом, смещение оценки пренебрежимо мало лишь при очень больших

Один неизвестный параметр. Рассмотрим ситуацию, когда значение одного из параметров или известно. Если параметр известен, оценка параметра остается прежней. Но если известен параметр (а тогда без ограничения общности можно считать, что то наиболее правдоподобная оценка параметра есть решение уравнения (ср. с (5.4.4))

Ясно, что аппроксимация корня этого уравнения (5.4.5) верна и в данном случае замененным на С). Отметим еще одну интерпретацию равенства (5.4.11):

т. е. -несмещенная оценка Смещение оценки при больших в рассматриваемом случае также выражается вторым слагаемым в формуле (5.4.10), поскольку согласно (4.8.11) и и кроме того, совпадает с выражением (5.4.8). Таким образом, при асимптотически подчиняется нормальному распределению

5.4.2. Некоторые замечания. Оценки параметров по методу моментов суть компоненты решения системы уравнений т. е. эти оценки совпадают с наиболее правдоподобными оценками. Далее, можно показать (см., например, Хогг и Крейг (1965), стр. 229—230), что совместно представляют собой полную достаточную статистику. В этом можно убедиться с помощью плотности совместного распределения сл. угла (см. п. 4.5.2). Вместе с тем, если известно, то минимальная достаточная статистика есть вектор т. е. не содержит всю информацию Если же известно (а значит, можно считать, что то полной достаточной статистикой является С. Это следует из выражения п. р. в. сл. в. С (4.5.7) при Поскольку С — единственная несмещенная оценка для при выраженная в терминах достаточной статистики, то согласно теореме Блекуэла она является наилучшей несмещенной оценкой функции

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление