Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.5. Регрессионная модель

Естественный аналог задачи линейной регрессии на прямой выглядит в случае окружности следующим образом (Гоулд (1969)). Пусть независимые сл. углы, причем подчиняется распределению где — заданные числа, а неизвестны. Найдем наиболее правдоподобные оценки параметров Так как логарифм функции правдоподобия выражается формулой

то наиболее правдоподобные оценки представляют собой компоненты решения системы уравнений

Для численного отыскания решения можно воспользоваться итеративной процедурой Ньютона. Пусть начальные приближения для соответственно и пусть При малых из (5.5.2) следует, что (приближенно)

где Решая эту систему относительно получим следующие формулы, удобные для итераций:

Следует заметить, что если разности соизмеримы, то система (5.5.2) имеет счетное число решений, и в этом случае итерации по формулам (5.5.3) приведут к какому-то одному из этих решений (в зависимости от выбора начального приближения). Поскольку при вычислениях значения всегда имеют ограниченное количество десятичных знаков, то неединственность решения системы (5.5.2) является типичным случаем. Поэтому для выбора какого-то одного из возможных решений приходится привлекать дополнительные соображения, связанные с практическим содержанием рассматриваемой задачи (Гоулд (1969)). Например, в ряде случаев заранее известно, что заданная положительная постоянная), причем знат чения принадлежат отрезку границы которого не зависят от (без ограничения общности можно считать, что Если выбор постоянных в этой ситуации подчинен условию при и среди решений системы (5.5.2) имеется решение, для которого то для всех , начиная с некоторого, такое решение единственно.

Заметим, наконец, что (5.5.2) можно трактовать как систему нормальных уравнений в следующей задаче наименьших

квадратов. Пусть Сумма квадратов длин векторов удовлетворяет тождеству

поэтому задача минимизации этой суммы эквивалентна задаче максимизации функции (5.5.1), и значит, система нормальных уравнений совпадает с системой (5.5.2). Любое решение системы (5.5.2) приводит к одному и тому же значению правой части (5.5.4), которое, как и в теории метода наименьших квадратов, естественно называть суммой квадратов кажущихся ошибок.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление