Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.6. Смеси распределений Мизеса

Рассмотрим задачу отыскания оценок для параметров смеси двух распределений Мизеса, имеющей п. р. в.

где

Нетрудно выписать уравнения правдоподобия для оценок всех пяти параметров п. р. в. (5.6.1), однако решать их аналитически не удается даже при Для вычисления наиболее правдоподобных оценок Джонс и Джеймс (1969) предложили использовать комбинацию метода градиента и метода Ньютона.

Не так просто использовать и метод моментов. При этом не вполне ясно, какие моменты следует использовать для получения оценок. Можно было бы использовать первые два момента для синуса и косинуса, но выбор пятого момента неизбежно нарушит симметрию. Рассмотрим подробнее случай и . П. р. в. (5.6.1) можно при этом переписать в виде

где Рассматривая сл. угол получим из (5.6.3), что его п. р. в. есть

Обе п. р. в. (5.6.3) и (5.6.4) уже рассматривались в § 3.6. Поскольку плотность (5.6.4) не зависит от то с помощью первого тригонометрического момента сл. угла можно получить оценки для Эти оценки и к — компоненты решения системы уравнений

где Пусть таковы, что

Тогда к есть решение уравнения

Оценку X параметра смеси А можно теперь найти с помощью первого центрального тригонометрического момента сл. угла (см. § 3.6), т. е. А, — корень уравнения

Другой путь для отыскания оценок указан Стефенсом (1969f).

Асимптотические дисперсии и ковариации полученных оценок можно найти с помощью леммы из п. 4.9.2.

Пример 5.4. Вычислим оценки параметров к и А, по данным табл. 1.8. Как было ранее найдено в примере Подставляя значение в (5.6.6), получим Из приложения 2 следует, что к при при к — 3,6. Линейная интерполяция дает Далее, находим Подставляя вычисленные значения в (5.6.7), получим оценку Таким образом, доля черепах, двигающихся вперед, составляет 0,78. Бонева и др. (1971) изучали аппроксимации этих данных некоторыми сплайнами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление