Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.2. Критерии для случая одной выборки

6.2.1. Гипотеза равномерности. Пусть - независимые одинаково распределенные сл. углы, для которых п. р. в. есть Рассмотрим задачу проверки гипотезы Но, согласно которой

против альтернативной гипотезы Ни согласно которой принадлежит семейству п. р. в. распределения Мизеса.

6.2.1а. Равномерно наиболее мощный критерий при заданном среднем направлении. Если известно, то без ограничения общности можно считать Итак, рассмотрим гипотезу против альтернативы При этих гипотезах функции правдоподобия выражаются формулами соответственно, где Поскольку гипотезы простые, то в силу леммы Неймана — Пирсона критическая область наиболее мощного критерия определяется неравенством которое в данном случае эквивалентно неравенству

где постоянная К выбрана таким образом, чтобы вероятность ошибочного принятия когда верна Но, равнялась заданному уровню значимости: Построенная критическая область не зависит от поэтому соответствующий критерий является равномерно наиболее мощным.

П. р. в. сл. в. С как при так и при указаны в п. 4.5.3. С помощью п. р. в. сл. в. С при можно вычислить мощность данного критерия, а критические значения К статистики С приведены в приложении 4. При больших для приближенного вычисления К можно воспользоваться тем, что асимптотически подчиняется стандартному нормальному распределению и поэтому т. е. где - функция, обратная функции стандартного нормального распределения Дуранд и Гринвуд (1957) построили более точную асимптотическую формулу

где

Выше для простоты мы положили При неравенство, определяющее критическую область, будет иметь вид

Пример 6.1. В 1920-х годах Мизесом была предложена статистическая проверка предположения, что атомные веса кратны некоторой постоянной, т. е. что каждое измерение атомного веса есть целое число плюс «малая» случайная дробная доля.

Таблица 6.1 (см. скан) Дробные части, выраженные в градусах атомных весов 24-х легчайших элементов

В табл. 6.1 приведены дробные доли (переведенные в градусы) атомных весов двадцати четырех легчайших элементов (Мизес (1918)). Проверим гипотезу равномерности в предположении, что . В данном случае Согласно таблице в приложении 4 при поэтому гипотезу следует отклонить. Так как то и при использовании нормальной аппроксимации гипотеза о равномерном распределении дробных долей атомных весов также отклоняется.

6.2.1b. Критерий Релея. Предположим теперь, что при гипотезе как так и неизвестны. Рассмотрим критерий отношения правдоподобия. Функция правдоподобия в этом случае останется той же, что и ранее, а вместо зависящей от неизвестных можно воспользоваться максимумом этой функции. Согласно (5.4.3) и (5.4.4)

где Таким образом, отношение правдоподобия выражается формулой

Нетрудно показать, что X с ростом монотонно возрастает. Действительно, заменив в выражением а затем дифференцируя по убеждаемся, что поскольку Отсюда следует, что

Итак, значит, и X) — возрастающая функция от Поэтому критическая область критерия отношения правдоподобия определяется неравенством

П. р. в. сл. в. при гипотезах выражаются формулами (4.4.5) и (4.5.4) соответственно, с помощью которых можно вычислять мощность полученного критерия. Критические уровни приведены в приложении 5. При больших можно пользоваться аппроксимацией (4.9.6), согласно которой распределена приближенно по Закону -кадрат с двумя степенями свободы. Уточнение этой апцроксимации выглядит следующим образом Пирсон (1906), Гринвуд и Дуранд (1955)): если то

Свойства оптимальности выведенного критерия обсуждены в следующем пункте.

Пример 6.2. В одном из экспериментов с почтовыми голубями были получены следующие значения углов исчезновения 10 птиц (Шмидт-Кениг (1963)):

Дают ли эти наблюдения основание полагать, что направления полета выбираются случайно? В данном случае поэтому . В приложении 5 находим, что Таким образом, можно заключить, что результаты наблюдений не противоречат предположению о случайном выборе направлений.

Пример 6.3. Проверим, свидетельствуют ли данные табл. 1.7 о справедливости нулевой гипотезы, согласно которой сезонных изменений нет. Иными словами, проверим предположение: моменты заболеваний белокровием в течение года распределены равномерно. Переведя данные за год на полуинтервал

так, что интервал (0°, 30°) соответствует январю и т. д. (см. 2-й и 5-й столбцы табл. 6.2), находим

Таким образом, Так как то гипотезу равномерности следует отвергнуть. Следовательно, на заболеваемость белокровием влияют сезонные изменения. Заметим, что если при вычислениях использовать поправки Шеппарда (см. § 2.8), значение статистики критерия увеличится до 10,46.

Поскольку число наблюдений велико, можно проверить согласие данных с распределением Мизеса. Как и в примере 5.2, воспользуемся наиболее правдоподобными оценками Соответствующие ожидаемые частоты приведены в столбце табл. 6.2. Значение статистики критерия хи-квадрат оказывается равным 9,6, тогда как при гипотезе равномерности она принимает значение 20,5. Вместе с тем поэтому распределение Мизеса следует признать согласующимся с наблюдениями, а гипотеза равномерности вновь отклоняется.

Таблица 6.2 (см. скан) Наблюденные частоты моментов заболевания белокровием (по данным табл. 1.7) и ожидаемые частоты, соответствующие распределению Мизеса

Значения оценок позволяют считать, что п. р. в. для момента заболевания белокровием периодически меняется (с периодом в 1 год) и достигает максимума около 20-го июля максимальное значение п. р. в. примерно в раз превосходит ее минимальное значение.

Эдварде (1961), наряду с прочим, предложил критерий для проверки гипотезы равномерности против альтернативйого кардиоидного распределения. Приведенные выше данные были

несколько иначе проанализированы Дэвидом и Ньюэлом (1965) (см. пример 7.5).

6.2.1с. Инвариантные критерии. Как показал Айне (1968), принцип инвариантности (Леман (1964), гл. 6) также приводит к критерию Релея. Пусть гипотеза равномерности (6.2.1); в качестве альтернативы рассмотрим класс п. р. в. , замкнутый относительно изменения среднего направления. Пусть

Критерий, основанный на статистике называется инвариантным для проверки против Ни если тождественно относительно всех действительных

Следовательно, должна зависеть лишь от переменных

поскольку максимальный инвариант относительно группы поворотов. Функция правдоподобия этого максимального инварианта выражается формулой

и значит, при нулевой гипотезе Таким образом, критическая область наиболее мощного инвариантного критерия определяется неравенством или, что то же, неравенством

В случае распределения Мизеса

так что (6.2.7) эквивалентно неравенству

Но поскольку то возрастающая функция от при Следовательно, критическую область можно задать неравенством Это и есть критерий Релея.

Поскольку выбор К не зависит от то критерий Релея является равномерно наиболее мощным инвариантным.

Бхаттачария и Джонсон (1969) показали, что критерий Релея является локально наиболее мощным при альтернативе, которая задается распределением полярной угловой координаты двумерного нормального вектора

6.2.2. Гипотезы о круговом среднем направлении. Предположим, что сл. углы независимы и имеют распределение (т. е. равномерное распределение исключается). Пусть согласно нулевой гипотезе круговое среднее направление принимает заданное значение, которое можно без ограничения общности положить равным нулю.

6.2.2а. Случай с известным параметром

(1) Критерии, основанные на отношении правдоподобия. Пусть

Согласно лемме Неймана — Пирсона критическая область наиболее мощного критерия определяется неравенством

поэтому не существует РНМ критериев не только для проверки Но против но также и для проверки Но против сложных односторонних альтернатив или

Так как при максимум (относительно логарифма совместной п. р. в. равен а при Но логарифм п. р. в. равен то критическая область критерия отношения правдоподобия определяется неравенством Если то постоянную К можно вычислять с помощью приближения, указанного Стефенсом (см. п. При малых находить процентные точки для трудно. В этих условиях предпочтительнее несмещенный критерий, указанный ниже в

(2) Метод дополнительной статистики Фишера. Пусть угла при заданном Тогда функция правдоподобия выразится формулой

где зависит только от сл. углов Поскольку распределение не зависит от то для получения статистических выводов относительно разумно воспользоваться лишь условным распределением при заданном В этом и состоит метод дополнительной статистики (Фишер (1959), IV. 4, Кендалл, Стыоарт (1973)), которой в данном случае оказывается сл. в. ,

Поскольку функция правдоподобия, соответствующая такому условному распределению, есть

то при фиксированном критическая область задается неравенством

где К выбирается так, чтобы вероятность выполнения этого неравенства при распределении равнялась заданному уровню значимости а. Мощность такого критерия при альтернативе равна вероятности выполнения неравенства (6.2.10), вычисленной по распределению или, что то же самое, равна вероятности выполнения неравенства вычисленной по распределению

Таким образом, полагая мы можем, вместо (6.2.10), записать эквивалентные неравенства

Если - сл. в., подчиняющаяся распределению то подчиняется распределению поэтому неравенства (6.2.11) осуществляются с той же вероятностью, с которой справедливы неравенства

В приложении 1 приведены таблицы функции с помощью которой можно записать уравнение для определения соответствующего заданному значению а, поскольку согласно (6.2.12)

Если как решение уравнения (6.2.13) вычислено, то критическая область выразится неравенствами (6.2.11), причем для мощности такого критерия справедлива формула

При вычислениях следует помнить, что

Пример 6.4. При заданном значении и уровне значимости построим критические области и вычислим мощность для следующих трех значений Согласно (6.2.11) и (6.2.13) неравенства для соответствующих критических областей, а также уравнения для определения имеют вид: Если и 25°, то с помощью таблиц приложения 1 при устанавливаем, что и 0,05618 соответственно. Отсюда линейной интерполяцией находим, что Далее, поскольку то Итак, критические области выражаются неравенствами первом и третьем случаях альтернативные значения критическим областям не принадлежат).

Рис. 6.1.

Согласно (6.2.14) мощности построенных критериев выражаются формулами

Используя линейную интерполяцию в таблицах приложения 1, находим, что

(3) Условный несмещенный критерий. Критические области, заданные неравенствами (6.2.9) и (6.2.10), зависят от и поэтому непригодны для проверки против сложной альтернативы Используя условное распределение находим, что функция правдоподобия есть и что критическая область критерия отношения правдоподобия определяется неравенством поскольку наиболее правдоподобная оценка параметра при есть Таким образом, эту критическую область можно выразить неравенством (см. рис. 6.1)

причем в качестве выбирается решение уравнения

В предыдущем примере мы уже встречались с такой критической областью, но при простой альтернативе Покажем, что эта область есть единственная несмещенная критическая область среди всех критических областей, которым соответствует уровень значимости а и которые выражаются неравенствами

где и — такие положительные числа, не превосходящие , что при вероятность осуществления указанных неравенств равна а.

Без ограничения общности можно считать, что 61 62, и в этом случае (6.2.17) эквивалентны неравенствам (6.2.11) при Следовательно, в силу (6.2.13) связаны соотношением Можно показать, что в данном случае функция мощности при альтернативе есть

т. е. при имеет место соотношение

Следовательно, данный критерий локально несмещен тогда и только тогда, когда и в этом случае его функция мощности выражается формулой

При этом если если Тем самым доказано, что при и значит, критерий с критической областью, определенной неравенством (6.2.15), является несмещенным.

Критические значения для некоторых уровней значимости а, представляющие собой решения уравнения (6.2.16) при заданных значениях приведены в приложении 6. Если то распределение при и заданном аппроксимируется нормальным распределением

Пример 6.5. В результате обширного статистического обследования было установлено, что направления косой слоистости по берегам исследуемого участка реки подчиняются распределению По данным выборки объема оказалось, что вблизи исследованного участка реки Соответствуют ли результаты выборочного обследования предположению, что

Условимся считать, что сл. углы, наблюдавшиеся при выборочном обследовании, подчиняются распределению и проверим гипотезу, согласно которой Эта задача эквивалентна задаче о проверке нулевой гипотезы по результату наблюдения причем Так как и согласно приложению то гипотеза принимается любым из критериев с уровнем значимости

Случай с неизвестным параметром

(1) Равномерно наиболее мощный несмещенный критерий при односторонних альтернативах. Рассмотрим задачу проверки гипотезы

когда значение одно и то же при обеих гипотезах, но неизвестно. Обозначим Для построения критерия, подобного пространству выборок, используем условную п. р. в. сл. в. S при заданном С и маргинальную п. р. в. сл. в. С, для которых из (4.5.3) и (4.5.7) получаем выражения

где

и функция не зависящая от определяется равенством (4.4.5). Следовательно, при гипотезе условное распределение сл. в. S при заданном С не зависит от В п. 5.4.2 было указано, что С — полная достаточная статистика при (это можно увидеть и непосредственно из (6.2.21)). Поэтому для построения критерия, подобного пространству выборок (см. Леман (1964), гл. 4, § 3), следует использовать условное распределение сл. в. S при заданном С. Рассматривая относительно п. р. в. (6.2.20) простые гипотезы против (при заданных и С), убеждаемся, что критическая область выражается неравенством которое в силу условия эквивалентно неравенству

Поскольку постоянная К зависит лишь от С, но не от или то соответствующий критерий является несмещенным равномерно наиболее мощным. Аналогично устанавливается, что

такими же свойствами обладает критерий с критической областью, определяемой неравенством

и предназначенный для проверки против

Согласно (6.2.20) условная мощность критерия с критической областью (6.2.23) зависит лишь от произведения и выражается формулой

Аналогично выражается мощность и в случае критической области (6.2.24).

(2) Равномерно наиболее мощный инвариантный критерий при двусторонней альтернативе. Рассмотрим задачу проверки гипотезы

при неизвестном Эта задача инвариантна относительно преобразования сл. углов поскольку снова независимы и имеют одно и то же распределение Мизеса где так что гипотеза эквивалентна гипотезе По этой причине, а также в силу того, что достаточная статистика, инвариантный критерий при заданном С должен зависеть от Распределение при совпадают, следовательно, критическая область задается неравенством

согласно Но функция а является положительным множителем в выражении п. р. в. (6.2.21), поэтому критическую область можно выразить неравенством

Постоянная К — решение уравнения таким образом, не зависит от Поэтому критерий является равномерно наиболее мощным инвариантным. Его условная мощность (при заданном С) есть где определена равенством (6.2.25); произведение можно тракторать как параметр нецентральности.

Имеется определенное сходство между критериями, полученными в и (2), и критериями Стьюдента на прямой. В частности, критерий Стьюдента также является равномерно наиболее мощным инвариантным относительно группы умножения на постоянную (Леман (1964), гл. 6, § 4, стр. 301).

(3) Интервальная оценка для оси с направлением Пусть Из (6.2.20) следует, что условная п. р. в. сл. в. S при заданном С — четная функция от С. Пусть функция этого условного распределения. Поскольку то

Рассмотрим сл. в. X с непрерывной зависящей от параметра у.

Предположим, что при любом монотонно убывает относительно у и изменяется от 1 до 0. В таком случае решение уравнения есть нижний доверительный предел для у, соответствующий коэффициенту доверия Действительно, рассмотрим вероятность события где истинное значение параметра. Согласно предположению о монотонном убывании с ростом у, а также в силу того, что в., распределенная равномерно на отрезке [0, 1], убеждаемся, что

Применяя этот результат к (доказательство монотонного убывания (6.2.27) мы приводить не будем), заключаем, что решение уравнения нижний доверительный предел для т. е. при любом значении

или, что то же самое,

Пусть В таком случае последнее тождество можно выразить формулой

Неравенства в фигурных скобках означают, что ось с направлением расположена внутри вертикальных углов, образованных осями с направлениями (см. рис. 6.2).

В приложении приведены графики для определения при и 0,01 и заданном При можно воспользоваться следующей аппроксимацией. Пусть -наиболее правдоподобная оценка (см. п. 5.4.1) и пусть Если О имеет распределение представляет собой решение уравнения

то дуга может рассматриваться как доверительный интервал для с коэффициентом доверия, приближенно равным Эта аппроксимация дает удовлетворительные результаты при

Рис. 6.2.

Заметим, что здесь речь идет об интервальной оценке параметра и поэтому в то время как в формуле и интервальная оценка строится для оси с направлением Если истинное (неизвестное) значение положительно и достаточно велико, то практически вертикальный угол, содержащий будет совпадать с указанной аппроксимацией.

Пример 6.6. В эксперименте с почтовыми голубями (Шмидт-Кениг (1963)) были зарегистрированы следующие углы исчезновения пятнадцати птиц, выпущенных в к югу от голубятни:

Направление на голубятню соответствовало углу в 149°. Можно ли полагать по этим данным, что почтовые голуби в общем склонны лететь к голубятне?

В данном случае Проверим, во-первых, гипотезу равномерности. Поскольку согласно приложению то гипотезу равномерности следует отклонить, в пользу гипотезы существования некоторого предпочтительного направления. Чтобы получить доверительный интервал с коэффициентом доверия (в предположении, что угол исчезновения подчиняется распределению Мизеса), с помощью приложения 7а устанавливаем, что при

при Поэтому при значение приблизительно равно 24°. Согласно (6.2.28) отсюда следует, что ось с направлением принадлежит вертикальным углам, образованным осями с направлениями Поскольку ось с направлением 149° принадлежит этим вертикальным углам, то можно заключить, что критерий с уровнем значимости а гипотезу не отвергает.

Используя, вместе с тем, вышеописанную аппроксимацию, найдем из приложения 3, что при т. е. С помощью нормальной аппроксимации мизесовского распределения получим для доверительный интервал т. е. причем коэффициент доверия приближенно равен 0,95. Этот результат снова подтверждает гипотезу Заметим, что в предыдущем случае мы лишь установили, что значения не противоречат результатам наблюдений.

(4) Вычисление критической постоянной Выше было показано, что для вычисления при заданном можно воспользоваться приложением 7а затем принимать или отклонять гипотезу в зависимости от того, принадлежит ли гипотетическое значение интервалу или нет. Теперь мы рассмотрим, как вычислять при данном С критическое значение являющееся решением уравнения Приводимые ниже аппроксимации (Стефенс (1962)) удовлетворительны при

(а) При положим

где верхняя -ная точка распределения с 1 степенью свободы .

Ь) При положим

причем определяется равенством (6.2.29), равенством

где верхняя -ная точка -распределения с степенями свободы:

(с) При положим

(d) При положим

определяется равенством

(e) При и положим

Предлагаемые аппроксимации выглядят несколько громоздкими по сравнению с указанными ранее. Аппроксимация (6.2.29) следует из асимптотического поведения в случае равномерного распределения (см. п. 4.9.1), а аппроксимация (6.2.31) следует из результата, изложенного в п. 4.9.3е для больших В свою очередь (6.2.31) приводит к (6.2.30).

Аппроксимация (6.2.31) была впервые предложена Ватсоном и Вильямсом (1956). Интуитивно ее легко понять из следующей аналогии. При больших разложение (см. п. 4.9.3)

аналогично разложению

где независимы и подчиняются нормальному распределению причем отношение первого слагаемого ко второму в правой части (6.2.33) есть Рассматривая аналогичное отношение в (6.2.32), приходим к аппроксимации (6.2.31).

Пример 6.7. Используем указанное правило аппроксимации для данных примера 6.6, в котором Поскольку вышеуказанные аппроксимации справедливы в предположении, что то предварительно следует вычесть из наблюденных значений углов и положить В данном случае т. е. Следовательно, нужно применить аппроксимацию Из таблиц распределения находим, что Из (6.2.30) получаем поэтому, как и в примере 6.6, при уровне гипотезу следует принять.

6.2.3. Гипотезы о параметре концентрации. Пусть сл. углы независимы и имеют распределение Естественно ожидать, что статистика критерия для проверки гипотез о параметре концентрации должна зависеть от подходящей выборочной характеристики рассеяния, т. е. фактически от сл. в. R или С, смотря по тому, известно среднее направление или нет. Впервые это обстоятельство было отмечено Ватсоном и Вильямсом (1956). Ниже мы увидим, что наилучшие в определенном смысле критерии действительно зависят от С или

6.2.3а. Случай известного кругового среднего. Без ограничения общности положим Рассмотрим задачу проверки гипотезы против Согласно лемме Неймана — Пирсона наилучшая критическая область определяется неравенством т. е. Поскольку постоянная К не зависит от то критерий является равномерно наиболее мощным для проверки против альтернативы

Покажем теперь, что для проверки гипотезы против существует несмещенный равномерно наиболее мощный критерий. Действительно, как отмечалось в п. 6.2.2Ь (1), С — достаточная статистика, п. р. в. которой

представляет собой плотность экспоненциального типа (см. Леман (1964), гл. 4, § 2, стр. 175), и, следовательно, критическая область, определяемая неравенствами

действительно соответствует равномерно наиболее мощному несмещенному критерию, если постоянные удовлетворяют системе уравнений

Для вычисления полезна аппроксимация, указанная Стефенсом (см. п. 4.9.3); согласно этой аппроксимации сл. в. при приближенно подчиняется распределению хи-квадрат с степенями свободы. Эта аппроксимация может быть использована и для вычисления мощности с заменой на при

При полезна аппроксимация распределения сл. в. С кривыми Пирсона (Стефенс (1969а)).

Случай, когда круговое среднее нацравление известно, редко возникает на практике, однако анализ этого случая поможет при рассмотрении ситуации, когда неизвестно.

6.2.3b. Случай неизвестного кругового среднего направления. Критерий отношения правдоподобия для проверки гипотезы против альтернативы (значение предполагается неизвестным) приводит к критической области, заданной неравенством Покажем, что этот критерий — инвариантный равномерно наиболее мощный. Действительно, гипотезы инвариантны относительно преобразования Согласно п. достаточная статистика, причем Таким образом, максимальный инвариант и любой инвариантный критерий должен зависеть лишь от В силу (4.5.4) п. р. в. сл. в. R выражается формулой

где не зависит от Поэтому в силу (4.8.8) и (4.8.9)

Таким образом, п. р. в. f порождает монотонное по отношение правдоподобия (см. Леман (1964), гл. 3, § 3, стр. 100), и требуемый результат следует из леммы Неймана — Пирсона. Вместе с тем ясно, что критическая область вида соответствует равномерно наиболее мощному инвариантному критерию или альтернативе

При двусторонней альтернативе рассмотрим критерий с критической областью, заданной неравенствами и выберем так, чтобы критерий был несмещенным и имел заданный уровень значимости а. Таким образом,

и, кроме того, поскольку производная функции мощности несмещенного критерия в точке должна равняться нулю, то, после дифференцирования (6.2.36) по под знаком интеграла, получим второе уравнение

Эти два уравнения определяют Построенный несмещенный критерий является равномерно наиболее мощным,

поскольку отношение правдоподобия монотонно по Леман (1964), гл. 3, стр. 128 и 175).

В приложении 8а — 8б приведены верхние и нижние доверительные пределы для соответствующие коэффициентам доверия 0,95 и 0,99. При для отыскания таких пределов можно использовать указанную в п. 4.9.3 аппроксимацию Стефенса, согласно которой приближенно подчиняется распределению хи-квадрат с степенями свободы (у выражается формулой (4.9.14)). Например, доверительный интервал для с коэффициентом доверия, приближенно равным есть

где верхняя -ная точка распределения хи-квадрат с степенями свободы: Действительно, согласно аппроксимации Стефенса

Неравенство эквивалентно неравенству а для его выполнения необходимо, чтобы было меньше положительного корня квадратного трехчлена в левой части. Этот корень и есть верхйяя граница интервала (6.2.37). Нижняя граница выводится аналогично.

При больших распределение сл. в. R удовлетворительно апцроксимируется нормальным распределением с параметрами (4.9.9); значения функции можно найти в приложении 2. Стефенс (1969а) аппроксимировал критические значения с помощью кривых Пирсона. При можно использовать аппроксимации, приведенные в 6.3.2Ь.

Пример 6.8. В одном из экспериментов с почтовыми голубями для пятнадцати птиц были зарегистрированы следующие значения углов исчезновения:

Вычислим 90%-ный доверительный интервал для параметра концентрации (Бачелет (1971)). В данном случае Пусть обозначают соответственно верхнюю и нижнюю границы интервала. С помощью кривых в приложении 8а, находим, что при при;

так что при берем Аналогично находим, что при при так что при берем Следовательно, искомый доверительный интервал есть

С помощью приложения 3 при линейным интерполированием находим оценку 1,629, которая покрывается доверительным интервалом, но, по понятным причинам, не совпадает с его средней точкой. Вычислим для сравнения и -ный доверительный интервал (6.2.37) (не следует ожидать, что он будет близок к вычисленному выше, поскольку Так как то и доверительный интервал есть (0,85; 2,44).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление