Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.3. Критерии для двух выборок

Пусть Две независимые выборки, соответствующие распределениям и пусть выборочные круговые средние направления, выборочные результирующие длины. Кроме того, обозначим символами аналогичные выборочные характеристики, вычисленные по объединенной выборке. Наконец, пусть . Все эти обозначения уже были введены в § 4.6.

6.3.1. Гипотезы о круговых средних направлениях. Предположим, что параметры концентраций рассматриваемых распределений одинаковы: Задача заключается в проверке гипотезы

(значения параметров предполагаются неизвестными).

6.3.1а. Несуществование равномерно наиболее мощного критерия, подобного пространству выборок. Покажем, что в рассматриваемой задаче такой критерий не существует. Действительно, как отмечалось в п. 5.4.2, m и R составляют полную достаточную статистику. Следовательно, при построении критерия, подобного пространству выборок, надо рассматривать условные расцределения при фиксированных При этом, если зафиксировать то для проверки простой гипотезы против простой альтернативы

критическая область согласно лемме Неймана — Пирсона будет выражаться неравенством

где . Поскольку эта область зависит от то равномерно наиболее мощного критерия не существует. Таким образом, рассматриваемая задача отличается от задачи сравнения средних двух нормальных распределений на прямой (в последней задаче двухвыборочный критерий Стьюдента является равномерно наиболее мощным, подобным пространству выборок (см. Кендалл, Стьюарт (1973), стр. 265)).

6.3.lb. Критерий Ватсона и Вильямса для двух выборок.

(1) Построение критерия. В п. 4.6.3 было показано, что распределение при заданном не зависит от когда гипотеза Но верна. Следовательно, выбирая подходящую функцию от можно построить критерий, подобный пространству выборок. Ватсон и Вильяме (1956) предложили отвергать гипотезу Но при больших значениях суммы т. е. использовать критическую область

где К определяется уравнением

Некоторым обоснованием для такого выбора критической области могут служить следующие соображения. Из равенства

следует, что чем меньше разность тем ближе но всегда Иными словами, при заданном чем больше тем больше разность С другой стороны, при известном критерий отношения правдоподобия для различения гипотез (6.3.1) имеет критическую область, определяемую неравенством

и эта область при заданном эквивалентна (6.3.2). Еще раз мы вернемся к неравенству (6.3.2) в п. 6.3.1d.

(2) Распределение Подставляя переменные и в выражении (4.6.17) условной п. р. в. сл. в. R и при заданном и интегрируя по находим, что условная п. р. в. суммы при заданном в случае сцраведливости гипотезы Но есть

где определена равенством (4.4.5). Вычисление интеграла в (6.3.3) — довольно утомительная задача. Ее можно упростить, используя аппроксимации Гринвуда и Дуранда (1955) для функции

Рассмотрим аппроксимации для п. р. в. (6.3.3). Вспомним аппроксимации, предложенные Ватсоном и Вильямсом (см. п. 4.9.3f). Согласно этим аппроксимациям распределены приближенно как сл. величины с одной и степенями свободы соответственно. Если то указанные статистики асимптотически независимы. Поэтому при справедливости нулевой гипотезы можем заключить, что отношение

при больших приближенно подчиняется -распределению с степенями свободы. Если вместо этих аппроксимаций воспользоваться тем, что при приближенно подчиняются распределениям хи-квадрат с и -степенями свободы (см. п. 4.9.3d), то сделанное выше заключение о распределении отношения 2 останется справедливым и для При этом неизвестное значение можно заменить его оценкой где

Исследования с помощью метода Монте-Карло (Стефенс (1969d)) подтверждают пригодность последней аппроксимации при При (т. е. при указанные две аппроксимации практически совпадают.

(3) Окончательные вычисления. Пусть Обозначим Для (т. е. для в приложениях 9а — 9б приведены -ные критические значения критерия (6.3.2).

При для критические значения вычисляются с помощью интерполяции по значениям при При и при всех умеренных значениях можно пользоваться приложением 9а. При и любых значениях можно пользоваться последней -аппроксимацией, тогда как при достаточно использовать предпоследнюю -аппроксимацию. Описанная процедура иллюстрируется примером 6.9.

(4) Уточнение свойства подобия. Поскольку полной достаточной статистикой является вектор то критерий, подобный пространству выборок, должен конструироваться при заданных значениях Однако критерий Ватсона и Вильямса (6.3.2) строится только при заданных значениях сл. в. . Это объясняется тем, что, если гипотеза Но справедлива, то совместное условное распределение при заданных не зависит от Действительно, совместная п. р. в. сл. в. (см. п. 4.5.2) есть

Заменяя переменные на и согласно равенствам

убеждаемся, что совместная п. р. в. сл. в. представляет собой произведение

где условная п. р. в. f определяется равенством (4.6.17), а п. р. в. g указана в п. 4.5.2. Из (6.3.4) следует, что при заданных условное распределение от не зависит.

6.3.1с. Приближенный доверительный интервал. Укажем способ построения доверительного интервала, приближенно имеющего требуемый коэффициент доверия в случае оценки разности

Согласно (4.5.5) условные распределения суть соответственно. Поэтому распределение разности

аппроксимируется распределением (см. последний абзац п. 3.4.9), где решение уравнения

На практике параметр можно заменить наиболее правдоподобной оценкой определяемой как решение уравнения

в свою очередь, заменить оценкой являющейся решением уравнения

Если сл. угол имеет распределение удовлетворяет уравнению

то

Пример 6.9. В эксперименте с почтовыми голубями (Шмидт-Кениг (1958)) «внутренние часы» десяти птиц путем искусственного изменения освещения были «переведены» на 6 часов вперед; девять других птиц составляли контрольную группу. Согласно теории солнечно-азимутального компаса круговое среднее значение углов исчезновения первой группы голубей должно отличаться на 90° против часовой стрелки от кругового среднего значения углов в контрольной группе. Ниже приведены наблюденные значения углов

Согласуются ли эти данные с теорией солнечно-азимутального компаса?

Предположим, что в обеих группах углы имеют распределение Мизеса с равными параметрами концентрации (см. пример 6.10). С помощью критерия, изложенного в п. 6.1.3Ь, проверим сначала равенство круговых средних. В данном случае

Поскольку используем приложение 9а. При и -ная точка для есть 0,59, а при она равна 0,48. Таким образом, при -ная точка для есть 0,57, и, следовательно, гипотеза о равенстве круговых средних отвергается.

Полагая теперь проверим, что круговые средние значения сл. углов и сравнимы по После поворота компонент второй выборки на 90° значения не изменятся, тогда как величина примет значение

Таким образом, Из приложения 9а 5%-ные точки для при суть 0,72 и 0,71

соответственно, т. е. при получим 0,71. Поскольку наблюденное значение меньше, то следует признать, что исходные данные не противоречат теории солнечно-азимутального компаса.

По этим же данным построим 95%-ный доверительный интервал для как это описано в п. 6.3.1с. Поскольку то Согласно равенству (6.3.5) и с помощью приложения 3 находим Вместе с тем, из приложения 2 следует, что Таким образом, согласно (6.3.6) Используя теперь приложение 6, устанавливаем, что величина удовлетворяющая (6.3.7), равна Следовательно, доверительный интервал для при коэффициенте доверия есть Заметим, что значение накрывается этим интервалом, а значение нет.

6.3.1d. Критерий отношения правдоподобия. Для проверки гипотез (6.3.1) можно построить критерий отношения правдоподобия, однако распределение его статистики при нулевой гипотезе весьма сложно, а свойства оптимальности неизвестны. Впрочем, при больших значениях к с помощью приближенных равенств

можно показать, что отношение правдоподобия — монотонная функция от статистики (см. п. 6.3.1Ь, (2)). При малых значениях к с помощью аппроксимаций можно показать, что

Таким образом, при больших и при малых к статистика критерия отношения правдоподобия при заданном зависит лишь от суммы Это может служить еще одним оправданием использования критерия Ватсона и Вильямса.

6.3.2. Гипотезы о параметрах концентрации. Рассмотрим задачу проверки гипотезы

при неизвестных Из соображений инвариантности надо ожидать, что критерии должны зависеть лишь от инвариантов относительно поворотов, т. е. от

6.3.2а. Несуществование критериев, подобных пространству выборок. Согласно (4.5.4) и (4.4.7) совместная п. р. в. сл. в. R

и при выражается формулой

Отсюда следует, что в данном случае критериев, подобных пространству выборок, не существует и что, в частности, п. р. в. отношения зависит от Такое положение не является неожиданным, поскольку при нулевой гипотезе сл. вектор минимальная достаточная статистика, которая, однако, не является ограниченно полной. Справедливость последнего утверждения вытекает, например, из того факта, что при гипотезе (см. (4.7.2))

В следующих пунктах будет показано, что с помощью некоторых аппроксимаций распределения сл. в. R можно построить критерий, являющийся в некотором смысле приближенно подобным пространству выборок.

6.3.2Ь. Аппроксимации распределения сл. в. R. В п. 4.9.3d было показано, что при приближенно подчиняется распределению хи-квадрат с -степенями свободы (у выражается формулой (4.9.14)). Этот результат мы дополним аппроксимациями распределения при и (2) при п. 4.9.3 отмечалось, что сл. в. R распределена асимптотически нормально, причем

где Используя преобразования, стабилизирующие дисперсию (см., например, Рао (1968), стр. 377), мы получим новую сл. в. как функцию от дисперсия асимптотического распределения которой не зависит от (а значит, не зависит от Поскольку эти новые сл. в. также асимптотически нормальны со средним, зависящим от то мы получаем аппроксимации, пригодные для построения критерия, приближенно подобного пространству выборок.

Случай В силу (3.4.46) при малых

поэтому из (6.3.10) следует, что распределена асимптотически нормально, причем

Следовательно, функция

позволяет осуществить преобразование, стабилизирующее дисперсию, поскольку распределена асимптотически нормально, причем и Если положить то нормальная аппроксимация оказывается удовлетворительной уже при . При значениях близких к единице, рекомендуется использовать аппроксимации, приводимые ниже для случая (2).

Можно уточнить и выражение для среднего асимптотического распределения Именно, используя выражение с помощью несложных выкладок можно показать, что

т. е. при малых

Случай Согласно второму из равенств (6.3.10) преобразование, стабилизирующее дисперсию, задается функцией

где функция, обратная Аппроксимируем функцию выражением вида причем постоянные выберем таким образом, чтобы функции также их первые производные принимали в точке одинаковые значения, т. е.

Иными словами,

Вычислив заменим под интегралом (6.3.14) функцию на В результате после несложных преобразований

и интегрирования получим приближенную формулу

причем

Таким образом, асимптотически нормальна и дисперсия ее асимптотического распределения приближенно равна Сравнение точного распределения с соответствующей нормальной аппроксимацией показывает, что если принять

то приближение будет удовлетворительным при Можно показать также, что

6.3.2с. Построение критерия, асимптотически подобного пространству выборок. Используем теперь полученные нормальные аппроксимации для построения критерия. Поскольку аппроксимации при различны, то и здесь нам следует различать эти случаи. Значение практически соответствует значению значению

Случай В качестве статистики критерия можно рассматривать сл. в.

где а функция определена формулой (6.3.12). При гипотезе Но эта сл. в. асимптотически нормальна Если то если же то соглаоно (6.3.13)

Этим смещением можно пренебречь, если мало или если

Случай этом случае в качестве статистики критерия можно рассматривать сл. в.

При гипотезе эта сл. в. также асимптотически нормальна Если то из (6.3.17) легко можно получить ее смещение с точностью до Использование критерия иллюстрирует пример 6.10.

Случай Согласно аппроксимации, указанной в п. 6.3.2Ь, при гипотезе Но статистика приближенно подчиняется -распределению с степенями свободы. Анализ с помощью метода Монте-Карло показывает, что эта аппроксимация дает удовлетворительные результаты. Использование критерия иллюстрирует пример 6.15.

Для этой задачи можно было бы построить статистику критерия отношения правдоподобия однако она очень сложна. Тем не менее, с помощью метода, использованного ранее в п. 6.3.1d, можно убедиться, что при больших статистика X представляет собой монотонную функцию от -статистики (6.3.20). При малых

Заметим, что при больших и малых сводится к

Пример 6.10. Проверим равенство параметров концентрации для данных из примера 6.9:

Поскольку то используем критерии (6.3.19). Для вычисления значений можно воспользоваться приближенной формулой

В результате получаем . Делитель в (6.3.19) в данном случае равен 0,4969. Поэтому принимает значение 0,553. Таким образом, меньше верхней 5%-ной точки распределения равной 1,65, и значит, нулевую гипотезу следует принять.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление