Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.4. Критерии для многих выборок

Пусть независимые выборки, соответствующие распределениям Как обычно, обозначим

6.4.1. Однофакторная классификация. Предположим, что (значение неизвестно). Пусть требуется проверить гипотезу

против альтернативы, что хотя бы одно из этих равенств неверно. По аналогии со случаем двух выборок и здесь можно построить критерий, подобный пространству выборок. Согласно при заданном не зависит от так что критическая область такого критерия определяется неравенством

причем критическое значение К вычисляется по условному распределению указанной суммы при заданном Для фактического вычисления критического значения, соответствующего требуемому уровню значимости, можно применять следующие апцроксимации.

Пусть Следуя тем же рассуждениям, что и при выводе -аппроксимаций в 6.3.1в (пункт (2)), заключаем, что при справедливости гипотезы статистика

приближенно подчиняется -распределению с степенями свободы, причем есть наиболее правдоподобная оценка параметра Вычисления с помощью метода Монте-Карло показывают (Стефенс что такая -аппроксимация дает удовлетворительные результаты при т. е. практически при

Результаты вычислений, связанных с отысканием значения (6.4.2), можно расположить в таблице, обычно составляемой при дисперсионном анализе:

(см. скан)

При величиной в (6.4.2) можно пренебречь. Пусть теперь т. е. ; кроме того, предположим, что Рассмотрим отношение правдоподобия. Используя аппроксимации получим приближенное равенство

При больших сл. в. приближенно подчиняется распределению хи-квадрат с степенями свободы. Это приближение можно улучшить, так как

Следовательно,

Но поэтому статистика

приближенно подчиняется распределению хи-квадрат с -степенями свободы. Аппроксимация (6.4.4) является удовлетворительной уже при небольших значения если только не лежит в непосредственной близости к нулю или к единице.

Поступая так же, как в п. 6.3.1е, можно получить доверительный интервал для разности

При больших и Сенгупта (1970) исследовали вопрос о выборе числа наблюдений , необходимого для

достижения заданной точности в оценке кругового среднего направления.

Пример 6.11. В табл. 6.3 приведены измеренные в градусах направления ветра близ Горлстона (Англия) между 11 и 12 часами по воскресным дням за 1968 г. Наблюдения классифицированы по временам года. В таблице отсутствуют наблюдения за три штилевых воскресенья.

Таблица 6.3 (см. скан) Направления ветра близ Горлстона по воскресеньям в различное время года

В этом примере Свидетельствуют ли приведенные данные о том, что направление ветра в разные времена года существенно различно?

Предположим, что параметры концентрации для всех четырех выборок одинаковы (см. пример 6.12 и табл. 6.4). Поскольку (и более того, все то можно использовать статистику (6.4.4). В данном случае

Таблица 6.4 (см. скан) Результаты вспомогательных вычислений по данным табл. 6.3

Так как -ная точка распределения у есть 7,81, то различие выборочных круговых средних по разным временам года можно признать незначимым.

6.4.2. Критерии однородности параметров концентрации. Рассмотрим сложную гипотезу (значения параметров предполагаются неизвестными). Как и в п. 6.3.2, рассмотрим процедуру проверки этой гипотезы в трех разных случаях.

Случай Используя результаты, изложенные в п. 6.3.2Ь, вычислим где Если гипотеза справедлива, то статистики асимптотически независимы и асимптотически подчиняются распределениям где

Положим Асимптотически наилучшая несмещенная оценка функции представляет собой точку минимума суммы квадратов

Таким образом, наилучшая оценка для есть

Подставляя это значение в (6.4.6), получим следующую статистику для проверки гипотезы

Эта статистика приближенно подчиняется распределению хи-квадрат с -степенями свободы. Процедура проверки гипотезы Но проиллюстрирована в примере 6.12.

Случай Используя аналогичные рассуждения на этот раз для функции (см. (6.3.15)), получим следующую статистику:

Эта статистика приближенно подчиняется распределению хи-квадрат с степенями свободы.

Случай В этом случае при справедливости гипотезы Но статистики приближенно подчиняются распределениям хи-квадрат с -степенями свободы соответственно. Иными словами, эти величины ведут себя как выборочные дисперсии в случае нормального распределения. Следовательно, можно использовать критерий Бартлетта, статистика которого

при нулевой гипотезе приближенно подчиняется распределению хи-квадрат с -степенями свободы [в формуле (6.4.10)

Пример 6.12. Проверим однородность параметров концентрации для данных из примера 6.11. Вспомогательные вычисления приведены в табл. 6.5.

Таблица 6.5 (см. скан) Вспомогательные вычисления для проверки равенства параметров концентраций направлений ветра

Так как то используем статистику В табл. 6.5 приведены результаты необходимых вычислений, причем Подставляя соответствующие величины в (6.4.8), получим

Верхняя -ная точка распределения хи-квадрат с тремя степенями свободы есть 7,81, так что параметры концентрации направлений ветра в различные времена года можно полагать одинаковыми.

Отметим, что из результатов, изложенных в следует, что статистика критерия отношения правдоподобия, предназначенная для проверки нулевой гипотезы против общей альтернативы, при малых приближенно выражается формулой

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление