Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 7. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

§ 7.1. Введение и основные результаты

В этой главе будут рассмотрены некоторые критерии для сл. углов, являющиеся аналогами известных непараметрических критериев согласия. Предполагается, что читатель знаком с теорией таких критериев на прямой.

Поскольку элементы выборки на окружности можно упорядочивать многими разными способами, то особый интерес приобретают те критерии, статистики которых инвариантны относительно поворотов. Максимальный инвариант относительно поворотов был получен в п. 6.2.1с. Он будет рассмотрен также в п. 7.1.1. Отметим, что как и в случае прямой, непараметрические критерии для сл. углов могут рассматриваться как критерии для проверки равномерности распределения.

7.1.1. Максимальный инвариант. Пусть независимые одинаково распределенные сл. углы с п. р. в. Последовательность полученная в результате упорядочивания этих сл. углов по возрастанию, называется линейной порядковой статистикой. Предположим, что некоторая статистика инвариантна относительно поворотов. Выбирая в качестве нулевого направления сл. угол получим новые сл. углы

для которых в силу инвариантности статистики справедливо равенство

Таким образом, каждую инвариантную статистику можно представить как функцйю от П. р. в. этих сл. углов выражается интегралом

Поскольку интеграл (7.1.2) инвариантен относительно перестановки то п. р. в. линейной порядковой статистики

Если плотность равномерного распределения на то п. р. в. (7.1.2) есть т. е. сл. углы также оказываются независимыми и равномерно распределенными. П. р. в. линейной порядковой статистики при этом есть

т. е. в случае равномерного распределения инвариантная порядковая статистика от выборки объема распределена как порядковая статистика от выборки объема

Пусть линейная порядковая статистика. Рассмотрим последовательность для выборочных промежутков

Как легко заметить, эта последовательность с точностью до циклической перестановки совпадает с последовательностью

В случае равномерного распределения п. р. в. последовательности есть, очевидно,

7.1.2. Эмпирическая функция распределения. При заданном нулевом направлении определим эмпирическую как

где т. е. по существу так же, как на прямой. Область определения эмпирической ф. р. может быть расширена с помощью равенства (3.1.1). Ряд результатов для эмпирической ф. р. на прямой переносится и на случай окружности. В частности, при каждом есть

биномиальная сл. в. с параметром и числом испытаний Имеем

Следовательно, состоятельная оценка для Более того, по теореме Гливенко — Кантелли стремится к равномерно. Заметим, однако, что зависят от выбора нулевого направления. Именно, если есть ф. р. сл. угла то угда есть

Аналогично, если эмпирическая построена по сл. углам то

Отметим, что если абсолютно непрерывная ф. р. сл. угла О есть то

есть равномерно распределенный сл. угол.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление