Главная > Разное > Теория катастроф (Арнольд В.И.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11. Особенности границы достижимости

Управляемая система в фазовом пространстве задается так: в каждой точке пространства дан не один вектор скорости (как в обычной эволюционной системе), а целое множество векторов, называемое индикатрисой допустимых скоростей (рис. 49).

Задача управления состоит в том, чтобы, выбирая в каждый момент времени вектор скорости из предоставляемого индикатрисой набора допустимых скоростей, достичь заданной цели (например, прийти за кратчайшее время на заданное подмножество фазового пространства).

Зависимость кратчайшего времени достижения цели от начальной точки может иметь особенности. Рассматривавшиеся в п. 10 особенности функции

Рис. 49

Рис. 50

минимума расстояния до кривой — частный случай (индикатриса — окружность, а цель — кривая). В отличие от этого частного случая особенности кратчайшего времени в общей задаче управления изучены весьма слабо.

В общем случае достичь цели можно не при любом начальном условии. Точки фазового пространства, из которых можно достичь цели (за любое время), называются областью достижимости.

Граница области достижимости может иметь особенности даже в том случае, когда ни цель, ни иоле индикатрис в различных точках фазового пространства особенностей не имеют. Мы приводим ниже классификацию особенностей границы достижимости в общей управляемой системе на фазовой плоскости в случае, когда индикатрисы и цель гладкие кривые (по А. А. Давыдову).

Из четырех типов особенностей границы три записываются простыми формулами (при подходящем выборе локальных координат на плоскости):

Нормальная форма особенности четвертого типа содержит произвольную гладкую функцию В двух переменных х, у и параметры

Примеры управляемых систем и целей, приводящих к указанным особенностям границы достижимости, изображены на рис. 50, 51, 52. На этих рисунках цель обозначена двойной линией, граница, области, достижимости — -образным пунктиром (ножка буквы обращена в сторону области достижимости). Линии со стрелками касаются краев конусов допустимых направлений в каждой точке; горизонтально заштрихована область «полной управляемости» (выпуклая оболочка индикатрисы окружает 0). Рассматривая рис. 50—52, читатель может проверить неустранимость особенностей 1—4.

Чтобы разобраться в этих рисунках, мы построим сеть предельных линий, определяемую следующим образом.

В каждой точке вне области полной управляемости направления допустимых скоростей расположены внутри угла, меньшего 180°.

Стороны этого угла определяют направления предельных скоростей в данной точке. Таким образом, в каждой точке вне области полной управляемости возникают два предельных направления. Интегральные кривые полей предельных направлений (т. е. кривые, имеющие предельное направление в каждой своей точке) называются предельными линиями.

Сеть предельных линий изображена на рис. 49 вместе с индикатрисами допустимых скоростей (они имеют вид эллипсов) и с опирающимися на индикатрисы углами, образованными допустимыми направлениями движения.

Граница области достижимости состоит из отрезков предельных линий (и, быть может, отрезков линии цели, если цель не лежит в области полной управляемости, см. рис. 50). Эти отрезки соединяются между собой в точках, которые и составляют особенности границы области достижимости.

На рис. 50 цель имеет вид контура лежащей на спине буквы С. Допустимые скорости во всех точках плоскости одинаковы и направлены вверх под углом, составляющим не более 45° с вертикалью.

Наклон всех предельных линий ±45°. Граница достижимости обозначена -образным пунктиром. Видны особые точки границы двух типов: 1 и 2.

В точке 1 соединяются отрезки двух разных предельных линий. Они пересекаются под ненулевым углом. Ясно, что из точек, расположенных выше указанной на рис. 50 границы, при движении по направлению, образующему с вертикалью угол 45° или меньше, попасть на цель нельзя, а из точек, расположенных ниже, — можно. Интересно отметить, что вершина 1 зияет на границе области достижимости: область недостижимости вклинивается в этом месте в области достижимости. Таким образом, в смысле п. 7 хорошим оказывается именно недостижимое.

В точке 2 на границе достижимости соединяется отрезок предельной линии и отрезок линии-цели. В этой точке направление линии-цели предельное, так что граница

Рис. 51

Рис. 52

достижимости имеет касательную. Кривизна границы, однако, меняется в точке 2 скачком при переходе с предельной линии на линию-цель.

Заменим теперь цель на рис. 50 любой близкой гладкой кривой (близость кривых предполагает близость их касательных, кривизн и т. д.) и заменим поле индикатрис допустимых скоростей на рис. 50 близким полем. Тогда ясно, что граница допустимости новой системы по-прежнему будет иметь вблизи точки 1 точку излома (где под ненулевым углом соединяются отрезки двух предельных линий). Точно так же вблизи каждой из точек 2 возникнет точка аналогичного характера для новой системы.

Таким образом, ситуация, изображенная на рис. 50, устойчива относительно малых шевелений системы. Подобным свойством устойчивости обладают и ситуации, изображенные на рис. 51 и 52. События, приводящие к указанным на этих рисунках особенностям сети предельных линий, состоят в следующем.

На рис. 51 кривая К ограничивает заштрихованную область полной управляемости; в заштрихованной области движение в любом направлении возможно (если допускать так называемые смешанные стратегии, т. е. движения быстро сменяющимися галсами). Цель на рис. 51 лежит в области полной управляемости. Следовательно, вся ограниченная кривой К область достижима.

На границе К области полной управляемости угол между допустимыми направлениями составляет ровно 180°. Граница К образована теми точками плоскости, для которых двойная касательная, делающая выпуклой индикатрису допустимых скоростей, проходит через начало координат плоскости скоростей (двойная касательная — это прямая, касающаяся кривой в двух точках).

На рис. 51 эта двойная касательная в каждой точке кривой К горизонтальна. Событие, приводящее к образованию изображенной на рис. 51 особенности, состоит в том, что кривая К сама касается проходящей через нуль двойной касательной к индикатрисе.

Для систем общего положения такое событие происходит лишь в отдельных точках границы К области полной управляемости. На рис. 51 оно происходит в точке 3, где касательная к К горизонтальна.

Из сказанного выше ясно, что описанное событие реализуется устойчивым образом: при малом шевелении системы, т. е. цели и поля индикатрис допустимых скоростей, точка 3 несколько сместится, но не исчезнет.

Рассмотрим теперь сеть предельных линий вблизи точки 3. Оба поля, предельных направлений вблизи нее гладкие. Выбором соответствующей системы координат одно из них можно выпрямить, На рис. 51 система координат так и выбрана: первое из двух семейств предельных линий состоит из горизонтальных прямых (направленных влево).

Линии второго семейства — гладкие кривые. На кривой К они касаются линий первого семейства. В интересующей нас точке 3 оба семейства касаются линии Из этих соображений уже нетрудно усмотреть, что сеть предельных линий вблизи точки 3 выглядит так, как указано на рис. 51: выше кривой К линии второго семейства поднимаются при движении вдоль допустимого направления, ниже — опускаются (выбор направлений линий сети допускает еще несколько вариантов, аналогичных изображенному; разобравшись в рис. 51, читатель легко разберется в них сам).

Теперь на рис. 51 видно, что левее точки 3 граница области достижимости идет по линии второго предельного направления, а правее — первого (горизонтального). В точке 3 обе линии имеют второй порядок касания (как прямая и кубическая парабола). В окрестности этой точки граница достижимости диффеоморфна графику функции

Таким образом, точки 1 и 2 на рис. 50 и точка 3 на рис. 51 дают примеры устойчиво реализуемых событий на границе области достижимости, вызывающих особенности первых трех видов стр. 38. Особенности четвертого вида возникают в ситуации рис. 52.

На этом рисунке, как и на рис. 51, цель находится внутри заштрихованной области полной управляемости. На границе К этой области расположены точки плоскости, в которых выпуклая индикатриса проходит через нуль. Ясно, что в управляемых системах общего положения это явление — прохождение индикатрисы через реализуется на линии. По одну сторону этой линии К лежит область полной управляемости (индикатриса окружает 0), по другую — область с двумя предельными направлениями. На разделяющей их границе К оба эти поля направлений сливаются в одно — поле направлений касательных к индикатрисам в нуле.

В общей точке кривой К направление этого поля составляет с К ненулевой угол. Событие, приводящее к особенности четвертого типа на границе области достижимости, — это касание кривой К с предельным направлением. Для систем общего положения такое касание реализуется в отдельных точках границы области полной управляемости К. На рис. 52 таких точек на кривой К три; средняя из них обозначена цифрой 4.

Чтобы изучить сеть предельных линий в окрестностях этих особых точек, полезно рассмотреть наше двузначное поле

предельных направлений как однозначное поле направлений на поверхности, двулистно накрывающей область выше кривой К.

С этой целью рассмотрим множество всех направлений линейных элементов на плоскости. Это множество является трехмерным многообразием, так как направление определяется точкой приложения линейного элемента (2 координаты) и еще своим азимутом (одна угловая координата).

Множество всех предельных направлений составляет подмножество множества всех направлений. Это подмножество - гладкая поверхность в трехмерном многообразии всех направлений. Трехмерное многообразие всех направлений проектируется на исходную плоскость (линейный элемент проектируется в свою точку приложения). Поверхность, образованная предельными направлениями, проектируется при этом в часть плоскости, расположенную выше кривой Это отображение проектирования поверхности на плоскость над кривой К имеет особенность, а именно складку Уитни.

Двузначное поле предельных направлений на плоскости определяет на построенной поверхности однозначное поле направлений всюду, кроме тех самых особенных точек кривой К (где индикатриса в касается К), которые мы хотим изучать.

Предельные линии обоих полей предельных направлений после перехода на построенную поверхность образуют систему фазовых кривых гладкого векторного поля с особенностями в интересующих нас точках. Эти особые точки могут быть узлами, фокусами или седлами (на рис. 52 средняя точка — узел, а обе крайние — седла). Таким образом, расположение предельных линий на исходной плоскости получается из расположения фазовых кривых векторного поля в окрестности особой точки при отображении складки Уитни. Хотя это отображение Уитни и фазовые кривые не вполне независимы (в частности, над К фазовые кривые касаются ядра проектирования), сказанного достаточно, чтобы исследовать расположение предельных линий вблизи особой точки (между прочим, такую же картину образуют асимптотические линии вблизи параболической кривой на поверхности).

На рис. 52 изображен один из вариантов этого расположения. На рисунке видно, что обозначенная -образным пунктиром граница области достижимости образована проекциями сепаратрис седел (крайних особых точек) при отображении двулистно накрывающей поверхности на плоскость. Над точкой 4 на накрывающей лежит особая точка типа «узел». В этот узел входят с разных сторон две сепаратрисы седел.

В узле эти две кривые имеют йбщую касательную и (в случае общего положения) могут быть заданы уравнениями парабол степени вида

в подходящей системе координат.

Четвертая особенность границы области достижимости получается из этой пары парабол степени а на накрывающей поверхности при отображении складки Уитни. Хотя как эти кривые, так и отображение складки задаются простыми формулами, получаемая особенность простыми формулами не задается.

Дело в том, что системы координат, нормализующие кривые и отображение складки, различны. А. А. Давыдов показал, что

нормальная форма изучаемой особенности неизбежно должна содержать произвольную функцию двух переменных (в то время как особенности предыдущих трех типов приводятся к простым нормальным формам при помощи подходящего выбора систем координат).

Это обстоятельство показывает, между прочим, ошибочность чрезвычайно распространенного среди катастрофистов вульгарного истолкования деклараций Тома о том, что «в природе встречаются только устойчивые явления и потому при изучении каждой задачи следует изучать устойчивые случаи, отбрасывая остальные как нереализуемые». В данном случае особенности первых трех типов устойчивы (с точностью до диффеоморфизмов), а четвертого нет. В то же время все 4 типа особенностей встречаются одинаково часто и изучение последней ничуть не менее важно, чем исследование остальных трех.

Об особенностях области достижимости, функции времени и оптимальной стратегии в управляемых системах общего положения с фазовым пространством большей размерности известно удивительно мало — лишь в 1982 г. доказано, что область достижимости является топологическим многообразием с краем.

Одним из промежуточных вопросов при исследовании управляемых систем оказывается вопрос об особенностях выпуклых оболочек гладких многообразий (кривых, поверхностей...).

Выпуклой оболочкой множества называется пересечение всех содержащих его полупространств. Индикатриса управляемой системы может быть невыпуклой.

Однако оказывается, что невыпуклую индикатрису можно заменить ее выпуклой оболочкой.

Например, индикатриса скоростей яхты при встречном ветре невыпукла (рис. 53). Против ветра можно, однако, двигаться галсами, применяя смешанную стратегию, т. е. перемежая участки движения с разными скоростями, принадлежащими индикатрисе.

Средняя скорость движения при смешанной стратегии принадлежит множеству средних арифметических используемых векторов индикатрисы, т. е. выпуклой оболочке.

Особенности выпуклых оболочек кривых и поверхностей общего положения в трехмерном пространстве исследованы В. Д. Седых и В. М. Закалюкиным. В случае кривых с точностью до гладкой замены переменных оболочка задается в окрестности каждой своей точки одной из шести формул:

(рис. 54). В случае поверхностей — одной из трех формул где р(х,у) — расстояние от точки до угла (рис. 55). Число является модулем (инвариантом): оболочки, соответствующие разным с, не сводятся одна к другой гладким преобразованием.

Особенности выпуклых оболочек в пространстве большей размерности мало изучены. Согласно В. Д. Седых, выпуклая оболочка общего -мерного многообразия в пространстве размерности выше имеет модули, являющиеся функциями к переменных.

Много новых интересных особенностей возникает в оптимизационных задачах с ограничениями, например в задаче об обходе препятствия. Их исследование привело к новым результатам в одной из самых классических областей математики — геометрии гладких поверхностей в трехмерном пространстве.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>