Главная > Разное > Теория поглощения и испускания света в полупроводниках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

Функция Ферми-Дирака.

Распределение частиц по энергетическим уровням может быть описано одной из следующих трех функций:

а) Максвелла — Больцмана

б) Бозе — Эйнштейна

в) Ферми — Дирака

Здесь энергия уровня; постоянная Больцмана; температура.

Функция Максвелла — Больцмана была получена для классических частиц, которые можно считать различимыми. Постоянная А находится из условия, что сумма частиц на всех уровнях системы равна некоторому заданному и неизменному числу Распределение квантовомеханических частиц с нулевым или целым спином описывается функцией Бозе — Эйнштейна. Параметр также определяется из условия нормировки. При рассмотрении фотонов и фононов, число которых может не сохраняться, полагают равным нулю.

В случае электронов, протонов и нейтронов, обладающих полуцелым спином и подчиняющихся принципу Паули, используется функция Ферми — Дирака, причем входящую в нее

величину называют энергией, или уровнем Ферми. Поскольку в дальнейшем в основном будет рассматриваться только эта функция, мы будем обозначать ее через без индексов

Характерно, что вид функции не зависит от свойств системы, а зависит только от температуры. Конкретные свойства системы отражаются лишь на положении уровня Ферми. Подставляя в получим т. е. вероятность заполнения уровня Ферми, если ему соответствует реальный уровень энергии, при всех температурах равна половине. Если то все уровни энергии, лежащие ниже заполнены, а все уровни с пусты. Функция имеет ступенчатый вид (рис. 13). С увеличением температуры возникает плавный переход от заполненных к незаполненным уровням энергии.

При движении от в сторону меньших или больших энергий скорости роста или убывания равны, так что всегда Для Следовательно, интервал энергий, в котором изменяется практически от 1 до 0, будет порядка (рис. 13). Если то единицей в знаменателе (3.3) можно пренебречь, а функция переходит в функцию Максвелла-Больцмана (3.1) .

Вероятность отсутствия электрона на уровне с энергией можно представить в виде

Это и есть функция распределения для дырок. Сравнивая ее с (3.3), легко еще раз убедиться в полной аналогии между положительными дырками и электронами. Различие между ними состоит лишь в том, что при переходе от электронов к дыркам необходимо изменить направление отсчета энергии на противоположное.

В многофазной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, все компоненты

Рис. 13. Функция Ферми-Дирака (сплошные кривые) и ее производная (пунктирные кривые) при

системы характеризуются одним и тем же значением уровня Ферми, называемого также иногда электрохимическим потенциалом. Изоэнергетическая поверхность в пространстве квазиимпульса удовлетворяющая условию и отделяющая занятые состояния от незанятых при температуре абсолютного нуля, называется поверхностью Ферми. Здесь через обозначено значение при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление