Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11. Шар с начальной температурой ... Температура поверхности r=a равна нулю

В этом случае дифференциальные уравнения для имеют вид

Положим где а — функция только и положим Тогда из (11.1) получим

Полином Лежандра степени где целое и положительное число, служит коэффициентом при в разложении и удовлетворяет уравнению Лежандра

Таким же образом присоединенная функция Лежандра [29—33]

удовлетворяет уравнению

Отсюда следует, что выражение

удовлетворяет уравнению (11.4) при условии, что зависит только от и что

Это приводит нас к выражению

причем решение неприемлемо, поскольку при стремится к бесконечности.

Таким образом, мы приходим к следующему решению уравнения (11.1):

где целые положительные числа.

Условия на границе удовлетворяются выражением (11.9), если а служит корнем уравнения

Если, как и выше, принять, что функцию можно разложить в ряд, члены которого имеют вид

и что этот ряд можно почленно интегрировать, то легко найти коэффициенты разложения.

Пусть, например,

и суммирование происходит по положительным корням уравнения (11.10). Тогда

Кроме того, мы знаем, что [29, 30, 32]

и

Отсюда

Наконец, из (5.2) гл. VII получаем

Если то в этих формулах следует заменить на

Коэффициент можно найти аналогичным путем.

Итак, мы получаем решение нашей задачи в виде

Здесь коэффициенты Апта и Впта определены выше, а суммирование по а происходит по положительным корням уравнения При наличии теплообмена на поверхности или при отсутствии через нее теплового потока задачи решают тем же путем, используя соответствующим образом измененное уравнение (11.10).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление