Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Часть шара, вырезаемая конусом ... Температура поверхности равна нулю, начальная температура равна ...

В данном случае дифференциальное уравнение для имеет следующий вид:

где . Его следует решать при условиях

и

Поступая так же, как и в § 11 данной главы, находим, что уравнение (13.1) удовлетворяется функцией

где обобщенная функция Лежандра (см. [29] или [35]), определяемая формулой

Здесь гипергеометрическая функция Гаусса. В функции должно равняться нулю или целому положительному числу, а должно быть больше чем но не должно быть целым числом. Функция (13.5) при нецелом имеет особую точку при Таким образом, она не была бы приемлемой в задаче для сплошного шара, разобранной в § 11 данной главы.

Если мы положим то из условия (13.3) найдем

и следовательно, должно быть корнем этого уравнения, превышающим

Наконец, условие (13.2) требует, чтобы а было положительным корнем уравнения

При таком выборе выражение (13.4) удовлетворяет граничным условиям и не обращается в бесконечность внутри исследуемого тела.

Если, как и выше, предположить, что функцию можно разложить в ряд

и что этот ряд можно почленно интегрировать, то, как и в § 11 данной главы, можно найти коэффициенты ряда. Единственное отличие здесь заключается в том, что в данном случае вместо соотношений (11.11) и (11.12) этой главы нужно использовать следующий результат: если любое положительное число или нуль, а два различных, больших корня уравнения то

и

Это доказывается в конце настоящего параграфа. Тогда найдем, как и в § 11 данной главы,

Если то в этих формулах следует заменить на Коэффициенты можно найти аналогичным путем. Таким образом, мы получим решение задачи в следующем виде:

где коэффициенты определяются так же, как и выше.

Если твердое тело является частью шара радиуса вырезанной конусом и плоскостями а температура его поверхностей равна нулю, то так же, как это делалось выше, следует разложить функцию в ряд

Аналогичный метод применим к телам, ограниченным другими поверхностями, записанными в полярных координатах.

Решение для конуса можно получить путем перехода к пределу решения (13.12) при а Это будет сделано в § 17 гл. XIV.

Остается еще доказать справедливость использованных выше соотношений

Пусть

Тогда

Следовательно,

Отсюда следует, что если и — два различных, больших чем —1/2 корня уравнения то

Точно так же, когда то

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление