Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Движущиеся источники тепла

Интегрированием решений для мгновенный источников решается ряд задач, которые можно рассматривать либо как задачи о движении источников в неподвижной среде, либо как случаи выделения тепла в фиксированной точке, мимо которой равномерно движется среда. В данном параграфе мы рассмотрим в основном неограниченную среду. Аналогичным образом можно применить и функцию Грина (см. гл. XIV) при решении соответствующих задач для случая ограниченной среды (см. ниже пример VI).

I. Движущийся точечный источник.

Предположим, что при в начале координат начинает выделяться в единицу времени количество тепла, равное и что неограниченная среда равномерно движется относительно начала координат в направлении оси х со скоростью Рассчитаем температуру в фиксированной точке в момент времени

В начале координат за элементарный промежуток времени в момент выделяется количество тепла кроме того, точка среды, имеющая в момент времени координаты в момент времени имела координаты

Таким образом, из соотношения (2.2) данной главы следует, что температура в точке в момент обусловленная выделением в момент количества тепла равна

Температура в момент времени обусловленная выделением того же количества тепла в начале координат за время от до равна

где

Полученное соотношение служит решением для случая выделения тепла в течение конечного промежутка времени Если то устанавливается стационарный тепловой режим, и температура в точке будет равна

II. Движущийся линейный источник; стационарные условия.

Если вдоль оси у количество тепла, выделяемого в единицу времени на единицу длины, равно то температуру в точке при установившемся состоянии находят интегрированием выражения (7.2)

где бесселева функция второго рода нулевого порядка от мнимого аргумента.

Соотношение (7.3) определяет температуру в неограниченной среде, которая протекает со скоростью мимо нагретой проволоки. В работе [43] решения (7.2) и (7.3) использованы в качестве приближенных выражений для распределения дыма в среде, текущей мимо точечного или линейного источника дыма.

III. Движущийся плоский источнику стационарные условия.

Если в плоскости количество тепла, выделяемого в единицу времени на единицу поверхности, равно и в направлении оси х через эту плоскость движется среда со скоростью то установившаяся температура в точке х записывается следующим образом:

IV. Движущийся точечный источник в стержне, охлаждающемся в результате теплообмена.

Если в начале координат в единицу времени выделяется количество тепла, равное а стержень движется вдоль оси х со скоростью то, используя соотношение (2.9) данной главы и принятые в нем обозначения, найдем для установившейся температуры в точке х выражение

V. Движущийся точечный источник в тонкой пластине, охлаждающейся в результате теплообмена.

Пусть пластина расположена в плоскости х, у и движется со скоростью в направлении оси х. Тогда используя выражение (2.10) и обозначения, принятые в § 2 данной главы, найдем, что установившаяся температура в точке х, у, обусловленная выделением в начале координат количества тепла, равного в единицу времени записывается в виде

где

VI. Точечный источник, движущийся на поверхности пластины.

Рассмотрим пластину движущуюся со скоростью параллельно оси х.

Пусть в начале координат имеется точечный тепловой источник, выделяющий в единицу времени количество тепла, равное и пусть потери тепла с поверхности пластины отсутствуют. Данная задача аналогична задаче I, за исключением того, что здесь толщина пластины конечна поэтому единственное изменение заключается в том, что вместо решения (2.2) настоящей главы следует использовать соответствующее решение (10.18) гл. XIV для источника в области Тогда вместо (7.1) мы получим

Отсюда, при когда превалируют стационарные условия, найдем, используя соотношение (30) приложения 3,

где

Соответствующее решение для линейного источника, расположенного вдоль оси х и выделяющего на единицу длины в единицу времени количество тепла имеет вид

Эти решения являются фундаментальными для расчета температур во многих практических случаях (нагревание трением, шлифовка, механическая обработка, поверхностный нагрев движущихся объектов, автогенная резка и сварка и т. д.). Тепло всегда подводится не к точке, а к ограниченной площадке, для которой решения (7.1) и (7.3) неприменимы, поскольку при приближении точки к этой площадке они стремятся к бесконечности; отсюда вытекает, что следует пользоваться интегральными решениями для источников, соответствующими подводу тепла к небольшой площадке. Во многих случаях форма площадки неизвестна; однако влияние формы на

максимальные температуры оказывается несущественным. Поэтому обычно исследуют площадки такой формы, для которой легче всего производить расчеты (а именно, прямоугольники и неограниченные полосы), поскольку решения для этих случаев имеют вид простых интегралов, легко вычисляемых численным методом.

VII. Источник в виде бесконечной полосы расположенной в плоскости Количество тепла, выделяемого в единицу времени на единицу площади полосы, равно Окружающая среда движется мимо полосы в направлении оси х со скоростью

Интегрируя (7.3), получаем для температуры

Отсюда, вводя безразмерные величины

получим

Выражение (7.10) легко найти численным методом. Для поверхности результат можно записать через интегралы [20]

Следует отметить, что для больших значений В температура максимальна при и приближенно равна т. е. величине (9.8) гл. II, найденной для температуры в конце промежутка времени при выделении в единицу времени на плоскости в неограниченном теле количества тепла

Температура в полуограниченном теле, обусловленная выделением тепла при трении тела о поверхность, по которой оно скользит со скоростью и при отсутствии теплопередачи равна удвоенному значению температуры, определяемому (7.10). Некоторые значения температуры поверхности при различных значениях приведены на рис. 34.

Рис. 34. Распределение температуры на поверхности полуограниченного твердого тела, обусловленное выделением тепла при трении тела о полосу шириной относительно которой оно движется со скоростью

VIII. Источник в виде бесконечной полосы, как и в предыдущей задаче, но ее плоскость образует с осью х угол

Температура в точке полосы, находящейся на расстоянии а от ее оси, равна следующей величине:

где

IX. Источник прямоугольного сечения — лежащий в плоскости Количество тепла, выделяемого в единицу времени на единицу площади, равно

где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление