Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12. Обобщение метода изображений Зоммерфельдом

Метод изображений, примененный выше к клину с углом раствора где положительное целое число, неприменим к клину с углом раствора где положительные взаимно простые целые числа.

Например, пусть угол раствора равен прямому углу и в точке находится заданный источник, причем ; тогда мы получим следующие изображения:

и

В этом случае при решении задачи трудности не возникают (рис. 36).

Если же угол равен и заданный источник находится в точке причем то мы получим следующие изображения (рис. 37):

и

Так как выражение для температуры, обусловленной действием источника, имеет периодический характер с периодом а сток в точке дает особую точку, соответствующую стоку в точке в точке, расположенной между граничными плоскостями, данный метод оказывается непригодным.

Рис. 36.

Рис. 37.

Однако для полного представления нам нужна только область занимаемая твердым телом, и если мы можем найти решение уравнения теплопроводности, имеющее период и только одну особую точку при в указанной области, причем функция близ этой точки имеет простой вид

то мы можем использовать его так же, как и обыкновенное выражение для температуры, обусловленной источником, и взять изображения в точках, указанных выше.

Этот метод, впервые разработанный Зоммерфельдом, позволяет непосредственно исследовать решение уравнения теплопроводности на соответствующей римановой поверхности (или в римановом пространстве). При угле раствора риманова поверхность (или пространство) оказывается -листной, и решение будет иметь период метод интересен в историческом отношении, так как после его применения к задаче распространения тепла от источника в теле, ограниченном плоскостями Зоммерфельду удалось с его помощью дать первое точное решение задачи дифракции волн на полуограниченной плоскости (например, на плоскости В настоящее время развит более простой метод решения этих задач, пригодный как для уравнений теплопроводности, так и для других дифференциальных уравнений математической физики в частных производных. Поэтому здесь достаточно только упомянуть о работах Зоммерфельда, а также о других работах, в которых используется идея римановой поверхности [33—36].

Мы возвратимся к задаче с клином в § 14, гл. XIV и покажем, что решение (113) предыдущего параграфа для угла справедливо для клина с любым углом раствора

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление