Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Полуограниченная область. Применение теоремы обращения

В качестве примера задачи, в которой, пользуясь таблицей изображений, нельзя получить непосредственно ответа, рассмотрим случай полуограниченного твердого тела с нулевой начальной температурой.

При температура поверхности этого тела меняется по закону

В данном случае вспомогательное уравнение имеет вид

При мы должны иметь

и, следовательно,

Решение уравнения (7.1) при условии (7.2), имеющее конечное значение при записывается в виде

Так как в таблице изображений такого выражения нет, применим теорему обращения и получим

Подынтегральная функция (7.4) имеет при точку ветвления и обладает простыми полюсами при Рассмотрим интеграл по контуру

показанному на рис. 40, т. е. интеграл

На этом контуре и внутри него подынтегральная функция является однозначной функцией Аргументом на служит а на этим аргументом служит

По теореме Коши интеграл по такому замкнутому контуру равен произведению На сумму вычетов относительно полюсов внутри контура. Эти полюсы находятся в точках Вычет относительно полюса равен

Отсюда сумма вычетов относительно полюсов равна

Рассмотрим теперь интеграл по контуру при переходе к пределу, когда радиус большой окружности стремится к бесконечности, а радиус малой окружности — к нулю. При интеграл по дугам и стремится к нулю. По мере того как радиус малой окружности с центром в начале координат приближается к нулю, интеграл по этой окружности также стремится к нулю. При интеграл по становится равным интегралу в соотношении (7.4). В интегралах по и мы полагаем соответственно и получаем

где

Итак, используя (7.4), (7.6) и (7.7), окончательно получим

Первый член соотношения (7.8), полученный из вычетов (7.6) относительно полюсов представляет собой часть решения, соответствующую стационарному состоянию, и, если необходима только она, рассматривать интеграл (7.7) нет необходимости (ср. § 5 гл. XV). Результаты (8.4) и (9.13) гл. И можно получить таким же путем.

Все решения, приведенные в § 4 данной главы, которые были получены при помощи таблицы изображений, можно, конечно, найти, как и в настоящем параграфе, воспользовавшись теоремой обращения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление