Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Область ограничена изнутри цилиндром кругового сечения r=a

Несмотря на несомненную важность этого случая в связи с задачами о распространении тепла от проложенных в земле кабелей и труб, об охлаждении шахт и т. д., области такой формы изучаются сравнительно недавно. Николсон [18] первым предложил решение (5.6), однако его аргументацию нельзя считать безупречной. Титчмарш использовал интеграл Фурье; Смит [19] применил метод контурных интегралов, изложенный в книге [20]. Ряд решений, для получения которых использовались операционный метод и метод преобразования Лапласа, можно найти в работах Гольдштейна [1] и Карслоу и Егера [7]. Некоторые численные результаты опубликованы Егером [21, 22].

I. Начальная температура равна нулю. Поверхность находится при постоянной температуре V.

Для такого случая вспомогательное уравнение имеет вид

Его нужно решить при условиях, что имеет конечное значение при кроме того,

Решение имеет вид

Далее, используя теорему обращения, получим

где Подынтегральная функция в соотношении (5.4) имеет при точку ветвления, и поэтому следует воспользоваться контуром, показанным на рис. 40; известно (см. § 15,7 книги [3]), что в этом контуре нулей функции нет, и поэтому интеграл в соотношении (5.4) можно заменить суммой интегралов по и по небольшой окружности с центром в начале координат.

Интеграл по небольшой окружности дает в пределе (при стремлении ее радиуса к нулю)

На линии мы принимаем тогда

так как

Интеграл дает выражение, сопряженное с (5.5), с отрицательным знаком. Объединяя эти результаты, окончательно получим

При небольших значениях времени мы поступаем так же, как и в § 3 данной главы, используя асимптотические разложения функций Бесселя в решении (5.3), и получаем

Тогда из (11) приложения 5 находим

На рис. 41 показаны графики зависимости температуры от для различных значений времени.

Наибольший практический интерес имеет величина теплового потока на поверхности, т. е.

Вводя обозначение получим, что тепловой поток на поверхности определяется также соотношением

для небольших значений и соотношением

для больших значений . В соотношении -постоянная Эйлера.

Рис. 41. Распределение температуры в области, ограниченной изнутри цилиндром начальная температура равна нулю, а температура поверхности равна постоянной Числа у кривых указывают значения

Численные значения интеграла (5.8) сведены Егером и Кларком [22] в таблицу. Графически он представлен рис. 42.

И. Начальная температура V постоянна. На поверхности происходит теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру. Вспомогательное уравнение имеет вид

а граничное условие записывается следующим образом:

Тогда

и

Подынтегральная функция имеет при точку ветвления, и поэтому мы используем контур, показанный на рис. 40.

Рис. 42. Тепловой поток на поверхности области, ограниченной изнутри цилиндром начальная температура равна нулю, а температура поверхности равна постоянной

Рис. 43. Распределение температуры поверхности в области, ограниченной изнутри цилиндром начальная температура равна постоянной V, а на поверхности происходит теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру. Числа у кривых указывают значения

На этом контуре или внутри него полюсов нет [7,27]. Поступая далее так же, как и в предыдущем примере, получим

Графики температуры поверхности для величин показаны на рис. 43.

III. Нулевая начальная температура. Тепловой поток на поверхности а постоянен и равен

В данном случае решение имеет вид

и

Решение, пригодное для небольших значений имеет вид

Отсюда, привлекая метод, излагаемый в следующем параграфе, находим, что при больших значениях времени можно написать

где постоянная Эйлера. Соотношение (5.19) аналогично также соотношению (4.6) гл. X для линейного источника, выделяющего на единицу длины в единицу времени количество тепла, равное

Некоторые значения температуры поверхности приведены на рис. 44.

Рис. 44. Распределение температур поверхности в области, ограниченной изнутри цилиндром начальная температура равна нулю, тепловой поток на поверхности равен постоянной величине Q.

IV. Нулевая начальная температура. Температура поверхности меняется по закону

где

V. Области начальной температурой, равной единице. Решения в виде произведения.

Очевидно, что решения для этих областей можно получить так же, как и в § 4 гл. VIII, воспользовавшись методом, описанным в § 15 гл. 1. Таким образом, для области с начальной температурой, равной единице, и нулевой температурой поверхности решение будет иметь вид

Численные значения искомой температуры можно найти из рис. 41.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление