Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Шар. Радиальный поток тепла

Фундаментальными решениями для радиального теплового потока в сферических областях служат решения для единичного мгновенного шарового поверхностного источника радиусом действующего в момент времени Решение для источника, действующего в неограниченной среде, имеет вид (см. (3.6) гл. X)

и, следовательно,

Как и ранее, мы ищем решение в виде

где решение уравнения теплопроводности

кроме того, должно обращаться в нуль при и должно иметь такое значение, чтобы удовлетворяло граничным условиям.

I. Шар с температурой поверхности, равной нулю. В момент на поверхности действует единичный поверхностный сферический мгновенный источник.

Здесь должно удовлетворять вспомогательному уравнению

и иметь при конечное значение. Таким образом, мы должны иметь

где А определяется из условия, что при т. е. что

Используя это значение А, получим

Если то в этом соотношении следует поменять местами.

Используя обычным путем теорему обращения, найдем

Принимая, что на сфере действует источник мощностью и интегрируя по от до а, получим для температуры в шаре с начальной температурой и нулевой температурой поверхности величину, равную

Решение для случая, когда температура поверхности равна получается таким же путем, как и в § 1 данной главы.

Вместе с тем, разлагая выражение (7.6) в ряд по отрицательным степеням показательных функций, находим решение

приводящее к решению (3.21) гл. IX для температуры в шаре с начальной температурой Шар поверхности которого происходит теплообмен со средой нулевой температуры. В момент времени на поверхности действует единичный мгновенный поверхностный сферический источник.

В данном случае

где положительные корни уравнения

III. Шаровая оболочка В момент времени на поверхности действует единичный мгновенный поверхностный сферический источник. Граничные условия имеют вид

где положительные величины или нули.

В данном случае

где

положительные корни уравнения

Если то к правой части решения (7.13) следует добавить член

IV. Область ограничена изнутри шаровой поверхностью В момент на поверхности действует единичный мгновенный поверхностный сферический источник. Граничное условие на поверхности имеет вид

где

В данном случае

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление