Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Система автоматического регулирования температуры

На практике часто оказывается желательным поддерживать постоянную температуру в некоторой области, например в печи, которая теряет тепло как посредством установившегося теплового потока через ее стенки, так и в результате искусственных возмущений (например, при открывании ее дверцы). Для этого поступление тепла в печь регулируется по термометру в печи. Наиболее распространенные методы регулировки температуры заключаются в следующем: 1) регулировка «включение — выключение», при котором нагревающий ток (или часть его) включается при падении до определенного уровня температуры, показываемой термометром, и выключается при ее повышении до другого заданного уровня; 2) пропорциональная регулировка, при которой количество тепла, подводимого в единицу времени, пропорционально отклонению показания термометра от заданной величины.

В обоих случаях возникают значительные трудности, связанные с тем, что между температурой рассматриваемой области и соответствующими изменениями тока нагрева всегда имеется запаздывание; помимо других причин, оно объясняется следующим: изменение температуры сначала проникает сквозь оболочку термометра и лишь затем через какой-то промежуток времени достигает материала самого термометра. Таким образом, самой простой идеализированной схемой реальной печи должна быть следующая: масса хорошо перемешиваемой жидкости (нагревательный элемент, содержимое печи и т. д.), в которую в единицу времени подается заданное количество тепла и которая теряет в единицу времени количество тепла, пропорциональное ее температуре (в результате передачи тепла сквозь стенки печи), находится на границе в контакте с пластиной (оболочка термометра и т. п.), причем на границе потери тепла отсутствуют. Поступление тепла определяется температурой на плоскости Такая идеализированная схема уже изучалась в примерах 7 и 8 § 13 гл. III. Аналогичным способом можно рассмотреть и другие случаи. Таким образом, в случае систем «включение — выключение», в которых всегда имеет одно из двух постоянных значений, поведение легко изучить для любой конкретной системы (общие решения слишком сложны, чтобы приводить их здесь); в частности, пользуясь приведенными в § 6 гл. III и § 5 гл. XV методами, можно изучить поведение в случае периодических изменений имеющих форму прямоугольной волны.

В случае пропорциональной регулировки мы получаем для описанной системы соотношение где постоянные, и предлагаемая теория открывает нам новые интересные особенности. Чтобы разобраться в них при помощи простейших расчетов, подробно рассмотрим следующую систему.

Неограниченное твердое тело — нагревается в результате подвода тепла к плоскости Начальная температура тела равна нулю, количество тепла, подводимого в единицу времени на единицу поверхности, определяется формулой

где постоянные, температура на плоскости

Тогда граничное условие для полуограниченного тела которое поступает половина общего количества тепла) будет иметь вид

Следовательно, граничное условие для вспомогательного уравнения запишется следующим образом:

Решение вспомогательного уравнения, ограниченное при имеет вид так что Подстановка в условие (8.3) дает А, и мы окончательно получаем

где положительная постоянная величина.

Для определения можно разложить функцию (8.4) в ряд (см. § 5 гл. XII); тогда мы получим

Следовательно,

Этот ряд полезен только при небольших значениях При других их значениях по нему нельзя судить о поведении этом отношении теорема обращения более полезна. Она дает

Подынтегральная функция (8.7) имеет при точку ветвления. Ее полюсы находятся в точках, определяемых корнями уравнения для которого и где мы принимаем Обозначая мы получаем в этих точках

Отсюда непосредственно выявляются следующие свойства корней:

1) вещественных корней нет,

2) так как в соотношении должен быть отрицательным, а в соотношении должен быть положительным, может лежать только в областях

3) если то имеется чисто мнимый корень,

4) если то существует корень

5) поскольку то в каждой из областей указанных в пункте 2), как так и увеличиваются с увеличением

Характер изменения корней в зависимости от показан на рис. 47, где отмечены положения корней для различных значений (см. числа у кривых). В первой области имеется один корень для всех значений больших один корень в первой области и один во второй для всех значений от до для в области имеется корней.

Рис. 47,

Из этих корней те корни, вещественная часть которых больше мнимой (т. е. справа от на рис. 47), будут соответствовать неустановившемуся колебанию, тогда как корни, вещественные части которых меньше мнимых (слева от соответствуют затухающему колебанию. Корни (8.10), лежащие на соответствуют поддерживаемому устойчивому колебанию.

Линия должна лежать справа от всех этих полюсов.

Поскольку подынтегральная функция (8.7) имеет при точку ветвления, используем контур, приведенный на рис. 40; тогда обычным путем найдем, что интеграл (8.7) равен сумме интегралов по и небольшой окружности с центром в начале координат плюс произведение на сумму вычетов относительно полюсов подынтегральной функции. Напишем решение для случая

когда имеется пар полюсов в точках если то члены, обусловленные полюсами, отсутствуют.

Полюсы дают вклад

где

Интеграл по малой окружности с центром в начале координат дает V, а интегралы по и дают в пределе

Итак, в этом случае

На рис. 48 приведены некоторые значения рассчитанные по этой формуле. На кривой температура медленно приближается к своей предельной величине при ббльших значениях предельная величина достигается быстрее и затухающие колебания, совершающиеся около нее, имеют вид. кривой построенной для ; при происходят поддерживаемые устойчивыми колебания относительно предельного значения (кривая при еще ббльших значениях мы получим колебание с возрастающей амплитудой.

Рис. 48. Поведение системы с автоматическим регулированием температуры при различных значениях параметров регулирования.

Этот ход температуры и возможность ее устойчивой «поимки» характерны для такой системы. Приведенный выше простой пример, не представляющий физического интереса, был выбран потому, что нули знаменателя в решении (8.7) можно найти сравнительно просто; в системах, встречающихся на практике, эти знаменатели гораздо сложнее и требуют утомительного численного и графического исследования [49, 50].

Простейшим обобщением рассмотренного выше случая служит случай полуограниченного тела теряющего с плоскости количество тепла, равное произведению на температуру плоскости. Пусть в единицу времени к плоскости подводится количество тепла, равное

где температура в плоскости требуемая конечная температура, С — постоянная, постоянное количество подводимого в единицу времени тепла, которое необходимо для поддержания плоскости при температуре Тогда если в начальный момент тело имело нулевую температуру, то изображение решения, найденное таким же путем, как и выше, имеет вид

где Соответствующую задачу для пластины в отсутствие тепловых потерь при можно решить аналогичным образом. Решения для установившегося периодического режима для этого случая были исследованы в [51, 52].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление