Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Неоднородные тела

Если термические свойства твердого тела меняются от точки к точке, то точные решения можно найти только для ограниченного числа частных случаев. Для задачи с линейным тепловым потоком дифференциальное уравнение имеет вид

а соответствующее вспомогательное уравнение для нулевой начальной температуры записывается в виде

или

Простейшими являются случаи, когда уравнение (9.2) можно преобразовать в уравнение Бесселя; тогда часто используется результат (см. [66]), согласно которому общее решение уравнения

имеет вид

где цилиндрическая функция

Рассмотрим теперь ряд типичных случаев, поддающихся решению.

В этом случае решение уравнения (9.2) имеет вид

где

Если то решения запишутся следующим образом:

В качестве конкретного примера рассмотрим область с нулевой начальной температурой. В момент времени температура плоскости становится равной единице.

Для определенности примем также этот случай будет представлять наибольший практический интерес. Тогда решение уравнения (9.2), ограниченное на бесконечности, примет вид

где определяется (9.7), а А должно быть выбрано так, чтобы при Тогда, если то

Используя этот результат, мы найдем А и, следовательно, окончательно получим

Итак, используя формулу (26) приложения 5, находим

где

Задачи, в которых начальная температура произвольна, и задачи для ограниченной области можно рассматривать обычным способом.

то решения вспомогательного уравнения (9.2) имеют вид

и, следовательно, решения задач, в которых теплопроводность имеет такую форму, можно получить из решений задач для областей, ограниченных цилиндрическими поверхностями. Таким образом, например, для полуограниченной области с теплопроводностью, определяемой (9.14), с нулевой начальной температурой и плоскостью поддерживаемой, начиная с момента при постоянной температуре V, температура в плоскости х в момент совпадает с температурой на поверхности в момент времени (см. пример I § 5 гл. XIII) и определяется уравнением (5.6) гл. XIII; кроме того, ее можно найти по графику, изображенному на рис. 41.

Если в (9.14) а отрицательно, например что соответствует линейному уменьшению коэффициента теплопроводности с расстоянием до нуля при то искомая температура совпадает с полученной выше (см. (6.8) гл. VII) при в момент и ее можно найти по рис. 24.

III. Если

то вспомогательное уравнение (9.2) примет вид

где Решения уравнения (9.17) имеют вид

Решения можно получить так же, как и в примере I.

IV. Если

то уравнение (9.2) принимает вид

где Решениями уравнения (9.20) служат

Для области имеющей в начальный момент нулевую температуру, с плоскостью поддерживаемой, начиная с момента при температуре V, температура в плоскости в момент совпадает с температурой на поверхности в момент времени

V. Если

то уравнение (9.2) принимает вид

Воспользовавшись (9.3), (9.4), получим решения (9.23)

где

решение можно получить так же, как и ранее.

VI. Цилиндрические и сферические области.

В этих случаях вспомогательные уравнения принимают вид

и

и поэтому теория для случая степенного закона зависимости К и с входит в теорию, изложенную в примере

§ 10. Нагревание «цепочки» пластин, между которыми происходит теплообмен. Слоистые материалы

Данная задача, которую исследовал еще Фурье, представляет интерес в связи с изучением теплопроводности слоистых материалов [68]; кроме того, она имеет ряд других практических приложений.

Рассмотрим ряд бесконечных параллельных плоских листков, настолько тонких, что температуру по их сечению можно считать постоянной. Пусть масса единицы поверхности листа, его удельная теплоемкость, его температура, а количество тепла, передаваемого единицей поверхности

в единицу времени к листу, определяется выражением

Тогда температура удовлетворяет уравнению

Если начальная температура равна нулю, то вспомогательное уравнение, соответствующее уравнению (10.2), имеет вид

Система уравнений (10.3) составляет совокупность дифференциальных уравнений, связывающих изображения температур последовательных листов. Мы рассмотрим только случай, когда все значения одинаковы при всех значениях тогда система уравнений (10.3) принимает вид

где

Решение системы (10.4) имеет вид

где постоянные, подлежащие определению из условий в начале в конце «цепи», а дается уравнением

Если мы имеем пластин, имеющих в начальный момент нулевую температуру, причем первая получает тепло от среды с температурой V, а последняя отдает тепло в среду нулевой температуры, то мы получим

и решение (10.6) принимает вид

Используя теорему обращения для окончательно получим

Если число пластин бесконечно, начальная температура равна нулю, причем первая пластина получает тепло от среды температуры V, то аналогичным путем находим

Отсюда, используя формулу (27) приложения 5, получим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление