Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Источники и стоки при установившейся температуре

Предположим, что тепловой поток в неограниченном твердом теле вызван постоянным подводом тепла в одних точках и его удалением в других. Эти точки можно назвать источниками и стоками тепла.

Опишем небольшую шаровую поверхность радиуса вокруг точки, в которой выделяется тепло; тогда при количество тепла, проходящее в единицу времени через шаровую поверхность, должно равняться мощности источника. Следовательно, решение уравнения

должно иметь вид

где - решение уравнения (1.1) данной главы, ограниченное в точке, в которой расположен источник, мощность источника.

Аналогичным образом для линейного источника мощностью часть выражения для стремящаяся к бесконечности, когда расстояние до линейного источника приближается к нулю, имеет вид

Если тепло непрерывно выделяется в ограниченной области неограниченного твердого тела, температуру в любой его точке находят интегрированием функций (2.1) или (2.2).

Если тепло выделяется в ограниченной области, поверхность которой поддерживается при нулевой температуре (или термически изолирована), то можно применить метод изображений или, в более общем случае, воспользоваться функцией Грина для уравнения Лапласа.

Для точечного источника, находящегося в точке заданной области с заданными граничными условиями, эта функция Грина определяется как решение уравнения Лапласа и(х, ; которое удовлетворяет граничным условиям и ограничено везде внутри области, за исключением точки где оно стремится к бесконечности таким образом, что

ограничен. Здесь

Итак, если и — определенная выше функция Грина, то температура, вызванная действием в точке источника мощностью будет равна

Эти функции Грина хорошо известны и их теория изложена в работах по теории потенциала. Здесь мы только отметим, что для областей, рассмотренных в гл. XIV, их можно получить из результатов этой главы. Обращаясь, например, к § 10 гл. XIV, найдем, что если положить то определенное в этом параграфе, удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям, а вблизи точки ведет себя как

Тем самым определенная выше функция Грина и равна

где значение изображения решения, приведенного в гл. XIV, при для единичного мгновенного точечного источника в той же области и при тех же граничных условиях.

Поэтому, например, если плоскости поддерживаются при нулевой температуре, а в точке с цилиндрическими координатами выделяется в секунду количество тепла, равное то температура в точке

согласно (10.11) гл. XIV, будет равна

где

Аналогичным образом, если цилиндрическая поверхность поддерживается при нулевой температуре, а в точке ) внутри цилиндра в секунду выделяется единиц тепла, то, используя (13.5) гл. XIV, получим, что температура в точке запишется в виде

где суммирование по а проводится по положительным корням уравнения

Согласно (15.1) гл. XIV соответствующее решение для источника в точке ограниченного цилиндра с нулевой температурой поверхности равно

где

и

Если то в соотношении (2.8) мы меняем местами

В качестве примера использования этих решений определим температуру в цилиндре поверхность которого поддерживается при нулевой температуре и в котором вдоль линии, параллельной оси цилиндра и проходящей между точками расположен линейный источник мощностью Эта температура равна

где и определено выражением (2.8). Следовательно, при она равна

Итак, мы получили температуру в цилиндре, нагреваемом проволокой, параллельной его оси

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление