Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Использование сопряженных гармонических функций в задачах с установившейся температурой

Пусть действительные функции х и у, причем такие, что

В этом случае называют сопряженными гармоническими функциями х и у. Тогда мы имеем

Следовательно,

Отсюда вытекает, что кривые ортогональны. Кроме того, поскольку

и

то

и аналогично

Далее, если является такой функцией что

то можно показать, что

Так,

и

Аналогично,

Складывая эти два выражения и используя соотношения получим

Итак, если мы можем получить решение уравнения

удовлетворяющее некоторым граничным условиям на кривых

то это решение на плоскости можно преобразовать в решение на плоскости причем границами служат кривые в плоскости которые при преобразовании

будут срответствовать кривым температуры на этих границах будут соответствовать температурам на границах в плоскости

Рассмотрим прямоугольник в плоскости определяемый следующим образом:

причем

Решение этой задачи получается разбиением ее на четыре случая, в каждом из которых три границы поддерживаются при нулевой температуре. Таким образом, как и в задаче I § 3 гл. V, найдем

где коэффициенты в рядах синусов

Находя из соотношения

получаем температуру в области, ограниченной кривыми, которые соответствуют причем на этих кривых температуры соответствуют

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление