§ 2. Интегральные преобразования и формулы их обращения
В данном параграфе и в следующих
является функцией х или
ее преобразование обозначается прописной буквой V, а вид преобразования — либо индексом, либо новой переменной
или
Во всех случаях мы примем (без объяснения), что рассматриваемые интегралы существуют; кроме того, если потребуется, мы допустим, что функции и их производные стремятся к нулю при стремлении переменного к бесконечности.
I. Преобразование Фурье в комплексной форме.
Обозначим через операцию преобразования функции по Фурье в комплексной форме, которое определяется соотношением
Согласно выражению (3.7) гл. II формула обращения имеет вид
Интегрируя по частям, получим
при условии, что
и стремятся к нулю при
Преобразование Фурье по синусам.
Обозначим через
операцию преобразования функции по синусам, а через
ее значения; это преобразование определяется следующим образом:
формула обращения, согласно соотношению
гл. II, имеет вид
Кроме того, если при
как
так и стремятся к нулю, то, интегрируя по частям, получаем
где
определяется ниже (см. соотношение (2.9) данной главы).
III. Преобразование Фурье по косинусам.
Обозначим через
операцию преобразования функции по косинусам, а через
ее значения; тогда
и, согласно соотношению (3.13) гл. II, формула обращения имеет вид
Помимо этого, если при
как
так и стремятся к нулю, то
IV. Преобразование Ганкеля.
Преобразование Ганкеля порядка
от функции
обозначается через
или
оно определяется соотношением
формула обращения для него имеет вид
Далее, двойное интегрирование по частям и использование формулы (2) (см. приложение 3) дает
при условии, что
и стремятся к нулю, когда
V. Преобразование Меллина.
Преобразование Меллина от функции
обозначается через
или
оно определяется выражением
формула обращения для него имеет вид [1]
Интегрируя по частям, получим
при условии, что
стремятся к нулю, когда