Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Неустановившийся тепловой поток

Этот случай можно проиллюстрировать рядом типичных задач.

I. Область — с начальной температурой Ищем решения уравнения

в области Согласно (2.4) данной главы для уравнения (3.1) преобразование Фурье в комплексной форме имеет вид

где когда Отсюда следует, что

и, воспользовавшись формулой обращения (2.2) данной главы, получим

что точно соответствует решению (3.17) гл. II.

II. Область с нулевой начальной температурой. При плоскость имеет температуру

Здесь следует решать дифференциальное уравнение (3.1) в области Отметим, что из преобразованных по синусам и косинусам функций (обе они пригодны для области первая вводит в соотношение (2.8) предыдущего параграфа температуру а вторая — неизвестное значение в соотношение (2.12). Поэтому мы воспользуемся преобразованием по синусам; применив его к уравнению (3.1), получим

Это уравнение нужно решать при условии при Отсюда следует, что

Воспользовавшись формулой обращения (см. (2.6) данной главы), получим решение

после некоторых вычислений это соотношение приводится к обычному результату

Рассмотренная выше задача очень хорошо иллюстрирует сходство между методами преобразований Фурье и Лапласа в одномерных задачах подобного типа. Во-первых, если в нашем распоряжении имеются соответствующие таблицы преобразованных функций, то работа, которую необходимо проделать при расчетах по одному и другому методу, одинакова. Во-вторых, если таблиц преобразованных функций нет, то в любом случае необходимо провести определенное количество расчетов с интегралами, полученными из формулы обращения. Существенное преимущество преобразования Лапласа для задач этого типа проявляется в связи с граничными условиями, поскольку в нем рассматриваются одинаковым образом все граничные условия. Однако ранее было необходимо использовать преобразование по синусам, так как при была задана температура тела если бы был задан тепловой поток на граничной поверхности, следовало бы использовать преобразование по косинусам; в случае граничного условия третьего ряда ни одно из этих преобразований не подходит и следует разработать преобразование нового типа; в случае граничного условия типа приведенного в § 9 гл. I, потребуется уже другое преобразование и т. п.

III. Неограниченная область Начальная температура зависит только от

В этом случае следует решить уравнение

при условии, что когда Согласно (2.15) данной главы для уравнения (3.3) преобразование Ганкеля нулевого порядка имеет вид

его следует решать при условии, что когда Отсюда находим

Воспользовавшись формулой обращения (2.14), получим

вычислив этот интеграл, получим решение (3.11) гл.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление