Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Конечные преобразования

Аналогичным методом можно воспользоваться для представления рядов Фурье и аналогичных им рядов через преобразованные функции. Для согласования с предыдущими результатами возьмем промежуток хотя чаще применяется промежуток

Обозначим через операцию конечного преобразовения функции по синусам, а через значение преобразованной функции; тогда

по определению

Формула обращения, которая является рядом Фурье по синусам, имеет вид

Интегрируя по частям, получим

Аналогичным образом обозначим операцию конечного преобразования функции по косинусам через а через — значение преобразованной функции; тогда

а формула обращения принимает вид

Кроме того,

Из соотношения (5.3) следует, что преобразование по синусам оказывается полезным для решения задач с заданной граничной температурой, а из соотношения (5.6) вытекает, что преобразование по косинусам пригодно для решения задач с заданным тепловым потоком. Для граничного условия третьего рода следует применять новый тип преобразования, основанный на разложении, приведенном в § 9 гл. III. Аналогичным образом для радиального теплового потока в областях могут быть определены конечные преобразования по Ганкелю, однако для граничного условия третьего рода необходимо применять другое преобразование.

I. Пластина с нулевой начальной температурой; при поверхности поддерживаются при температуре, равной единице.

Поскольку в данной задаче рассматривается температура граничных поверхностей, применим преобразование по синусам к уравнению

которое, согласно (5.3), примет вид

его следует решать при условии, что когда Искомое решение имеет вид

Следовательно, воспользовавшись (5.2), получим решение

которое сводится к соотношению (4.1) гл. III. (Для получения этого соотношения нужно воспользоваться разложением единицы в ряд по синусам.)

II. Установившийся поток в теле прямоугольного сечения Граничная поверхность поддерживается при температуре и другие поверхности — при нулевой температуре.

Применяя синус-преобразование Фурье по переменной х, получим уравнение

которое следует решать при условии, что когда когда Искомое решение имеет вид

В таком случае, воспользовавшись (5.2), получим

что соответствует решению (3.9) гл. V.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление