Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Линейный тепловой поток в неограниченном пространстве

Следует решить уравнение

при условии, что при температура задана. Здесь х может быть функцией . В § 6 гл. I было показано, что в общем случае, когда К является функцией соответствующее уравнение можно привести к формуле (3.1) путем замены переменной.

Выберем теперь на оси х интервал и обозначим через значения в точке Заменим в уравнении на конечную разность, используем (2.14) предыдущего параграфа и пренебрежем разностями высших порядков; тогда мы получим систему уравнений

которые следует решать при условии, что известны значения Эта система в точности соответствует системе уравнений (10.2) гл. XV при и (при постоянном ее можно решить при помощи методов, изложенных в § 10 гл. XV. Итак, теперь мы видим физический смысл сделанных приближений. Система (3.2) соответствует разделению твердого тела на пластины толщиной и замене их пластинами из идеального проводника той же теплоемкости. Термическое сопротивление между этими пластинами равно т. е. совпадает с термическим сопротивлением пластины из исходного материала толщиной

Если х постоянно, то сравнение решений (3.2), получаемых методами, приведенными в § 10 гл. XV, с точными решениями позволяет изучить результаты приближения. В случае переменного х, а также нелинейных граничных условий система (3.2) решается при помощи дифференциального анализатора [13]. Проведенные исследования показали, что в ряде случаев хорошие результаты можно получить не только для малых значений ; так, для пластины толщиной а хорошие результаты получаются при

Для того чтобы описанный выше метод стал чисто численным, необходимо в системе (3.2) заменить производную по времени разностью. Для этого мы выбираем промежуток времени и обозначаем через Ни ни пока не определены, и к их выбору мы вернемся позднее.

Здесь можно воспользоваться различными формулами для наиболее проста формула (2.8) данной главы, которая, если пренебречь разностью второго порядка, имеет вид

Подставляя ее в систему (3.2), получим

где величину

иногда называют модулем. Следует отметить, что в соотношении (3.4) значения в момент времени выражены через его значения в момент что позволяет использовать это соотношение для дальнейших расчетов, исходя из известного значения при Поскольку в соотношении (3.3) мы пренебрегаем разностью третьего порядка, можно ожидать, что этот метод не очень точен. Однако он оказывается достаточно точным; практически он является самым простым из всех существующих методов, и мы здесь будем рассматривать только его.

Теперь следует рассмотреть величины и оценить устойчивость метода. Конечно, до некоторой степени определяется уже самой задачей. Как отмечалось выше, в случае системы (3.2) для пластины толщиной а величина дает вполне хорошие результаты. В любом случае не слишком мало по сравнению с а. В формулах (3.4) и вместе входят в поэтому, чтобы получить решение через разумное число операций, желательно выбрать настолько большим, насколько это допустимо. Необходимость некоторого ограничения значения вытекает из следующих рассуждений. Пусть при максимальная ошибка для любого значения равна ; тогда, согласно (3.4), если малое изменение вызванное малым изменением величины и если постоянно, то

или

Далее, если здесь применим описанный выше метод, то ошибка не должна возрастать, т. е. должно быть справедливым соотношение ; тогда, согласно (3.6), нужно, чтобы было справедливым соотношение

Это и есть требуемое ограничение для называемое обычно условием устойчивости. Ясно, что это условие достаточно, но отнюдь не необходимо. В настоящее время имеется много работ, основанных на решениях разностных уравнений, в которых очень тщательно разбирается вопрос об устойчивости

Другой простой метод исследования устойчивости и точности численных решений заключается в изучении случая При этом мы либо исследуем распространение по системе единичной ошибки, либо рассматриваем функцию Грина, соответствующую выделению при в начале координат количества тепла Согласно (3.4) гл. X точное решение для этого случая имеет вид

Для иллюстрации этого метода приведем часть таблички значений получающихся при рассмотрении указанного выше случая; величины полагают равными 0,25, 0,5 и 0,6; во всех случаях приводят только числа, соответствующие Результаты, конечно, симметричны относительно

(см. скан)

Рассматривая случай находим, что ошибка в одной цифре на единицу в конце концов приводит к большим ошибкам с чередующимися знаками. При практических расчетах такой эффект быстро становится явным. Согласно критерию (3.7) этот случай является неустойчивым.

В случаях которые, в соответствии с (3.7), должны быть устойчивыми, из соотношения (3.8) следует, что величины, стоящие в одиннадцатом ряду таблицы для первого случая и в шестом ряду для второго, должны равняться т. е.

Как мы видим, интересующие нас величины при очень хорошо с ними совпадают (имеются лишь небольшие расхождения в последних значащих цифрах). При в таблице чередуются нули и величины, вдвое превосходящие точные значения (можно считать, что это обусловлено таким же общим количеством тепла, сконцентрированным в чередующихся через одну пластинах). Действительно, кривая, проведенная через точки с координатами, равными половине этих величин, служит по мере увеличения все лучшим и лучшим приближением к точному результату. Если точки на непрерывной кривой, то наблюдаемые колебания сглаживаются.

В данном случае (т. е. при уравнение (3.4) принимает особенно простой вид

и, следовательно, значение при те, точно равно среднему арифметическому от значений при Этот процесс определения среднего арифметического можно выполнить либо численным, либо графическим методом; последний, называемый методом Шмидта [20, 21], применяется уже довольно давно при исследовании теплообмена.

В большинстве практических случаев, когда достаточна точность порядка нескольких процентов, уравнения (3.4) и (3.9) оказываются одинаково пригодными. Их преимущества заключаются в повторяемости очень простых операций, и поэтому эти уравнения очень удобны при использовании как простых, так и сложных электронных вычислительных машин.

Рассматривая далее возможность отыскания разностных уравнений, которые более точно представляли бы дифференциальное уравнение, естественно заменить неточное выражение (2.8) данной главы выражением (2.18) этой же главы, в котором опущены только третьи разности. Подстановка (2.11) предыдущего параграфа в (3.2) дает

где, как и раньше, Это соотношение, так же как и (3.4), определяет непосредственно через известные величины, хотя последние

теперь находятся в двух предшествующих рядах. К сожалению, эта система оказывается неустойчивой. Поэтому, если, как и раньше, мы рассчитаем распространение единичной ошибки, то для получим

Выражение (2.11) используется в весьма удачном методе, разработанном в [24] (см. также [3]). В этом методе дифференциальное уравнение для заменяется разностным уравнением. Используя соотношение (2.11) для представления при и среднее значение величин (2.14) при для представления при получим

Приведенный метод обладает тем преимуществом, что в случаях переменной температуропроводности, источника тепла переменной мощности или переменных граничных условий эти изменения можно учесть физически удовлетворительным образом, а именно, считая, например, равным не величине, соответствующей а среднему значению по области. Однако уравнение (3.11) не так легко использовать, как (3.4), так как оно не дает непосредственного выражения через а позволяет только написать ряд алгебраических уравнений, которые должны быть решены. Их решение можно получить при помощи обычных приемов, основанных на методе релаксации или аналогичных методах. Этот вопрос достаточно полно изложен в литературе [3]. Дальнейшее уточнение метода с использованием разностей более высоких порядков выполнено Дугласом [25, 26].

Наконец, следует отметить, что случаи радиального потока в шарах или цилиндрах можно рассматривать почти таким же способом при помощи соотношения (2.17) или (2.15) настоящей главы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление