Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Неограниченное твердое тело. Решение Лапласа

Требуется найти решение уравнения линейного теплового потока (1.1) в бесконечной области — с начальным условием

Обычное формальное рассмотрение этой задачи заключается в следующем: согласно (1.2) данной главы

является частным интегралом уравнения (1.1).

Далее, так как уравнение является линейным, то сумма любого числа частных интегралов также является интегралом. Следовательно, функция

также удовлетворяет указанному уравнению при условии, что этот интеграл сходится.

Пусть

Тогда

В пределе, когда если эта функция непрерывна; предполагается, что предельное значение этого интеграла дается выражением

которое равно

Итак, в момент времени температура неограниченного твердого тела, имевшего начальную температуру записывается в виде

Мы можем написать [11]

и, следовательно,

Рис. 4. Распределение температур в неограниченной области, одна часть которой в начальный момент времени имеет постоянную температуру V, а другая часть — нулевую температуру. а) Область с начальной температурой, равной б) внутренность цилиндра радиусом при начальной температуре в) внутренность сферы радиусом при начальной температуре Во всех случаях числа на кривых указывают величины

Отсюда выражение для можно записать в форме

которая напоминает форму интеграла Фурье (3.2) для

Проведенное выше рассуждение было формальным, и поэтому необходимо рассмотреть условия для при которых оно справедливо. Было показано [10], что если функция ограничена и интегрируема в любом заданном интервале, а интеграл сходится, то при функция заданная выражением (2.1), имеет предел если эта функция непрерывна в точке х, или предел если она имеет в точке х разрыв первого рода. Кроме того, если непрерывна в интервале то в этом интервале равномерно стремится к при

На самом деле полученные результаты справедливы и при менее строгих условиях для например, если любой полином или экспоненциальная функция, т. е. если

где — постоянные.

Ниже приводятся некоторые практически важные результаты, полученные на основе уравнения (2.1).

1. Если в начальный момент времени область имеет постоянную температуру, равную V, а область нулевую температуру, то

На рис. 4, а приведены некоторые численные значения величины полученные из выражения (2.3) при различных значениях параметра Аналогичные результаты, найденные для цилиндра с радиусом поперечного сечения а и сферы радиусом а, находящихся постоянной начальной температуре, приведены соответственно на рис. 4, б и 4, в.

2. Если в начальный момент времени область — имеет нулевую температуру, а область температуру, равную V, то

3. Если в начальный момент времени область имеет нулевую температуру, область температуру и область — температуру то

4. Если плоскость непроницаема для тепла, то решение принимает форму

5. Для двумерного и трехмерного случаев решения уравнения (2.1) принимают вид

6. Если в начальный момент неограниченный цилиндр имеет постоянную температуру V, а окружающая его неограниченная область — нулевую температуру, то

7. Если в начальный момент параллелепипед имеет постоянную температуру V, а окружающая его неограниченная область — нулевую температуру, то

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление