Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Полуограниченное тело с начальной температурой f(x) и нулевой температурой поверхности

Пусть твердое тело ограничено плоскостью и простирается до бесконечности в положительном направлении оси х, причем его начальная температура задана соотношением а плоскость поддерживается при нулевой температуре. Решение такой задачи можно получить из решения, найденного для неограниченного твердого тела.

Пусть исследуемое тело продолжено в отрицательном направлении оси х и пусть его начальная температура в точке равна а начальная температура в точке х равна При таком распределении температур температура плоскости остается равной нулю. Тогда из соотношения (2.1) получим

Ясно, что эта величина удовлетворяет всем условиям задачи о полуограниченном твердом теле, ограничивающая плоскость которого поддерживается при нулевой температуре.

Выражение (4.1) для температуры можно преобразовать, как и в § 2, следующим образом:

в форму, подсказываемую соотношением (3.8). Так же как и в § 3 (неограниченное тело), этот результат легко получить и в данном случае, используя синус-преобразования Фурье (3.9) и (3.10).

Если начальная температура постоянна и равна V, то соотношение (4.1) можно упростить, подставляя в первую его часть, во вторую. Тогда мы получим

Этот интеграл совпадает с (1.3) данной главы, и поэтому решение задачи о полуограниченном твердом теле, поверхность которого поддерживается при нулевой температуре, а начальная температура равна V, имеет вид

Полученный результат можно вывести непосредственно из выражения (1.3), так как из свойств функции ошибок следует, что она удовлетворяет нашему дифференциальному уравнению, а также начальным и граничным условиям.

Важно отметить, что в этом случае, т. е. в случае постоянной начальной температуры и нулевой температуры поверхности, полученный результат (4.3)

зависит только от одного безразмерного параметра

Это позволяет легко сравнивать температуры в различные моменты времени и в различных точках твердых тел, обладающих различной температуропроводностью. Аналогичные результаты справедливы и для часто встречающихся величин скорости охлаждения и градиента температуры в любой точке.

Скорость охлаждения в любой точке записывается в виде

Температурный градиент в любой точке — в виде

Рис. 5. Графики функции (кривая I) и функции (кривая II).

Переходя к параметру получим

Численные значения этих величин приведены в приложении 2; кроме того они показаны в виде кривых I и II на рис. 5. Кривая II имеет максимум равный

Из соотношения (4.7) следует, что для любого вещества время, необходимое для достижения заданной температуры в какой-либо точке тела пропорционально квадрату расстояния этой точки от поверхности тела. Кроме того, время, необходимое для достижения в данной точке заданной температуры, обратно пропорционально температуропроводности.

Например, из рис. 5 или из таблицы приложения 2 следует, что

В серебре, для которого температура достигает указанной величины на глубине 1 см через 0,64 сек; в висмуте, для которого это произойдет через 15,7 сек, а в грунте, для которого череа 234 сек. Для глубины 10 см соответствующие промежутки времени окажутся в 100 раз больше.

Наконец, мы приведем некоторые результаты, имеющие большое значение для практики. Их легко получить из соотношения (4.1).

1. Если на границе поддерживается постоянная температура V, а начальная температура равна нулю, то

Это легко получить, вычтя из прет которое является решением дифференциального уравнения теплопроводности, решение (4.3) для начальной температуры V и нулевой температуры поверхности.

Тепловой поток на поверхности равен

причем при это выражение стремится к бесконечности.

2. Если в начальный момент времени область имеет постоянную температуру V, а область нулевую температуру, то

3. Если в начальный момент времени область имеет температуру а плоскость поддерживается при нулевой температуре, то

4. Если в начальный момент времени область имеет постоянную температуру V, а область нулевую температуру, причем для поверхность сохраняет нулевую температуру, то

5. Если в начальный момент времени область имеет постоянную температуру V, а области нулевую температуру, причем для поверхность сохраняет нулевую температуру, то

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление