Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Установившаяся периодически изменяющаяся температура в составных пластинах

Такие задачи лучше всего решать матричным методом, который обычно используется в теории электрических цепей [13—17]. Сначала рассмотрим периодически изменяющуюся температуру в пластине в обозначениях, принятых в этой теории. Предполагается, что все величины умножены на временнбй множитель мы опускаем его повсюду, и он появляется лишь в конце вычисления, если необходимо выбирать действительные или мнимые части. В каждой точке нас всегда будут интересовать две величины — температура и тепловой поток . В этом случае, как и в § 6 гл. II, общее решение, соответствующее установившимся периодически изменяющимся состояниям (как указывалось выше, мы опускаем временной множитель), имеет вид

где

(комплексные) константы, температура и тепловой поток в точке х.

Пусть температура и тепловой поток на плоскости пластины, а соответствующие величины на плоскости Тогда, если заданы любые две из этих четырех величин, то можно определить следовательно, оставшиеся две величины из легко выразить через первые две. В частности,

где

Из уравнений (7.5) и (7.6) следует, что

Решая уравнения (7.4), получаем

Существенно ново здесь то, что уравнение (6.4) можно рассматривать как матричное уравнение

связывающее две матрицы (каждая из двух строк и одного столбца) при помощи следующего простого правила умножения матриц: если элемент строки и 5-го столбца в матрице состоящей из строк и столбцов, элемент в матрице состоящей из строк и столбцов, то произведение матриц представляет собой матрицу из строк и столбцов, причем элемент в ряду и столбце

имеет вид

Например,

Предположим теперь, что мы имеем составную пластину, состоящую из слоев, слой которой характеризуется толщиной коэффициентом теплопроводности коэффициентом температуропроводности и величинами на его левой и правой поверхностях соответственно. Тогда в случае идеального теплового контакта между плоскостями слоев повторное применение уравнения (7.9) дает

где определяются из формул (7.5) и (7.6) для отдельных слоев. Умножение матриц в соотношении (7.12) можно производить последовательно при помощи формулы (7.11). Таким способом можно записать точные формулы для пластины, состоящей из слоев, но они оказываются исключительно сложными. Ценность данного метода заключается в том, что он позволяет очень легко получить числовые величины для частных случаев, подставляя численные значения в (7.12) и умножая числовые матрицы.

Если между слоями пластины или на поверхностях имеются контактные сопротивления, то их также можно представить в виде матриц и включить в произведения (7.12). Например, если контактное сопротивление между первым и вторым слоем равно то

или

Отсюда, например,

Конечный результат этих вычислений представляет собой два линейных соотношения, связывающих температуры и тепловые потоки на двух поверхностях составной пластины. Граничные условия дадут еще два соотношения, и поэтому мы сможем найти четыре величины. В случае необходимости температуру в пределах любого слоя можно определить из формулы (7.1).

В качестве простого примера рассмотрим пластину в которой на границе теплообмен отсутствует, а на границе с термическим сопротивлением происходит теплообмен со средой, температура которой меняется по закону Тогда, если температура и тепловой поток при температура и тепловой поток во

внешней среде, то из (7.14) и (7.9) следует, что

Отсюда

Вводя временной множитель и беря действительную часть, получим решение, которое согласуется с решением (12.7) данной главы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление