Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 15. Кольцо Фурье

Одной из наиболее простых и показательных задач теплопроводности, в которых температура зависит только от одной координаты и от времени, является задача Фурье для кольца. Эта задача особенно интересна еще и потому, что к ней Фурье

впервые применил свою математическую теорию и для нее результаты математических исследований были сравнены с данными эксперимента [75].

Кольцо представляет собой тело малого поперечного сечения, согнутое по окружности (или по другой замкнутой кривой). Используя обозначения и предположения, принятые в § 2 настоящей главы, мы видим, что дифференциальное уравнение температурного поля в кольце имеет вид уравнения (2.4), а именно:

Пусть длина окружности кольца равна 21; тогда, выбрав начало координат в некоторой подходящей точке, мы можем решать уравнение (15.1) в области Поскольку кольцо образует замкнутую кривую, мы не имеем граничных условий при но зато должно быть периодической функцией х с периодом т. е.

I. Начальная температура Теплообмен отсутствует.

Предположим, что можно разложить в ряд Фурье

Тогда

удовлетворяет всем условиям задачи. Это можно доказать так же, как и в § 3 гл. III.

Решение для случая теплообмена легко получить путем подстановки в уравнение (15.1).

II. Установившаяся температура; плоскости поддерживаются при температуре

В этом случае распределение температур должно быть четной функцией х, которая при принимает значение V и удовлетворяет уравнению (15.1) при

Тогда решение имеет следующий вид:

где

Это выражение можно использовать для сравнения коэффициентов теплопроводности [75] двух твердых тел при помощи метода, аналогичного методу, приведенному в § 5 данной главы.

III. Кольцо с установившейся температурой, определяемой (15.5), охлаждающееся в результате теплообмена со средой нулевой температуры.

Положив в уравнении будем искать решение уравнения

в виде периодической функции с периодом 21 и следующим начальным значением:

Используя соотношение (15.4), находим решение в виде

Соотношение (15.9) можно использовать для определения из данных о температуре при [31, 76].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление