Главная > Разное > Теплопроводность твердых тел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Неустановившееся состояние. Решения в форме произведений

Как и в гл. V и VI, решения многих важных задач можно записать (см. § 15 гл. I) в виде произведения решений простых задач. Они имеют вид функций определяемых (6.1) и (6.5) гл. V, что соответствует случаю полуограниченного твердого тела с заданной температурой поверхности и теплообменом соответственно, а также функций определяемых (6.6) и (6.7) гл. V, что соответствует случаю пластины — с заданной температурой поверхности и теплообменом соответственно. К этим решениям необходимо теперь добавить функции

где положительные корни уравнения

и

где положительные корни уравнения

В § 6 и 7 гл. VII было показано, что выражения (4.1) и (4.3), аналогичные (6.5) и (7.4) гл. VII соответственно, служат решениями задач для случаев неограниченного цилиндра с начальной температурой, равной единице, и либо с поверхностью, поддерживаемой при нулевой температуре, либо с теплообменом со средой нулевой температуры.

I. Ограниченный цилиндр с начальной температурой, равной единице, и нулевой температурой поверхности.

Численные значения функций были приведены в § 4 гл. III и в § 6 гл. VII. На рис. 27 и 28 приведены изотермы

при для осевых плоскостей в цилиндрах, для которых Эти значения указывают на важную роль краевых эффектов.

Если теплопроводности цилиндра в радиальном и осевом направлениях различны (как, например, в бревне), то решение по-прежнему будет иметь вид произведения (4.5) тех же функций, каждой с соответствующим значением Ограниченный цилиндр с нулевой начальной температурой.

Если температура поверхности цилиндра равна единице, то решение имеет вид

или

где положительные корни (4.2). Решение для случая температуры поверхности, равной легко получить, воспользовавшись теоремой Дюамеля.

Рис. 27. Изотермы для цилиндра, длина и диаметр которого равны 2а, с начальной температурой, равной единице, и нулевой температурой поверхности;

Рис. 28. Изотермы для цилиндра длиной 4а и диаметром 2а с начальной температурой, равной единице, и нулевой температурой поверхности;

III. Ограниченный цилиндр с начальной температурой, равной единице. На поверхности цилиндра происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

Численные значения приведены в литературе (см. ссылки к гл. III и гл. VII). Некоторые численные значения приведены в [15].

IV. Ограниченный цилиндр с начальной температурой, равной единице. На поверхностях происходит теплообмен со средой нулевой температуры. При поверхность

поддерживается при нулевой температуре.

V. Полуограниченный цилиндр с начальной температурой, равной единице,

Если на всех поверхностях происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то

Если все поверхности поддерживаются при нулевой температуре, то

Для изотермы вблизи поверхности в этом случае не отличаются от изотерм, изображенных на рис. 28.

Если поверхность поддерживается при нулевой температуре, а на поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то

Если поверхность поддерживается при нулевой температуре, а на поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то

Ясно, что легко записать решения многих других задач такого же типа, в частности задач с полыми цилиндрами.

В гл. XIII будут приведены соотношения, определяющие температуры в областях, ограниченных изнутри цилиндрами; после этого можно написать аналогичные решения для областей типа или

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление