Главная > Разное > Теория упругости (Амензаде Ю.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Тензор напряжений

Выберем в теле некоторую точку и проведем через нее координатные линии произвольной криволинейной системы координат

Рассмотрим в точке тетраэдр, мысленно выделенный из недеформированного тела тремя координатными поверхностями, определяемыми ковариантными базисными векторами и поверхностью, внешней нормалью к которой служит некоторое направление — единичный вектор), проходящее через ту же точку (рис. 6).

Рассмотрим движение тетраэдра. Обозначим через соответственно площади поверхностей и .

Рис. 5

Рис. 6

На указанных поверхностях, нормалями которых служат соответственно векторы взаимного базиса и единичная нормаль , действуют где векторы напряжения в координатных площадках с нормалями Кроме того, массовая сила выделенного элемента равна (здесь ускорение; плотность материала недеформированной среды).

На основании принципа отвердевания и начала Даламбера уравнение движения тетраэдра будет иметь вид

Здесь во втором слагаемом суммирование ведется по индексу от 1 до 3. Поскольку для тетраэдра сумма векторов площадей равна нулю, то

Учитывая, что ковариантные компоненты единичного вектора), вместо (2.10) будем иметь

откуда

Подставим это в (2.9), тогда

Пусть при постоянном направлении расстояние от точки до поверхности стремится к нулю. Принимая во внимание, что из последнего уравнения найдем

Вектор напряжения может быть представлен тремя составляющими по отношению к векторам ковариантного базиса т. е.

Подставляя (2.12) в (2.11), получим

Учитывая, что где контравариантные компоненты вектора напряжения, найдем

В (2.13) двойное суммирование ведется по индексам а в (2.14) — одинарное суммирование по индексу

Формула (2.14) определяет контравариантные компоненты вектора напряжения на площадке, заданной нормалью поэтому на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что величины составляют контравариантные компоненты тензора второго ранга. Тензор называется контравариантным тензором напряжений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление