Главная > Разное > Теория упругости (Амензаде Ю.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 49. Интеграл типа Коши

Как известно, задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа решаются с помощью потенциалов простого и двойного слоев, а при решении краевых задач для других дифференциальных уравнений применяются различного рода обобщенные потенциалы. Краевые задачи теории аналитических функций комплексного переменного, к которым приводятся задачи плоской теории упругости,

решаются с помощью интеграла типа Коши и различных его обобщений. Исходя из этого, мы приведем без доказательств несколько результатов из теории интегралов Коши, типа Коши и предельных значений последнего.

1. Интеграл Коши. Пусть функция, аналитическая в односвязной области ограниченной простой кусочно-гладкой замкнутой линией и непрерывная в Тогда значение функции в любой точке определится граничным значением этой функции на линии в виде

Здесь интегрирование ведется по линии в положительном направлении. Интеграл, входящий в правую часть (6.126), называется интегралом Коши. Если точка находится вне то в силу теоремы Коши

ибо подынтегральная функция будет аналитической в и непрерывной в

В случае многосвязной ограниченной области формула Коши имеет вид

где каждый из является простой кусочно-гладкой замкнутой линией, причем все находятся внутри Если точка вне то в силу теоремы Коши

Пусть -функция, аналитическая в односвязной бесконечной области ограниченной простой кусочно-гладкой замкнутой линией включая и бесконечно удаленную точку, т. е. и непрерывная в Тогда

для точек лежащих вне

для точек лежащих внутри Формула (6.130) называется формулой Коши для бесконечной области.

2. Интеграл типа Коши. Пусть заданная на простой кусочно-гладкой замкнутой линии непрерывная функция, тогда

выражает однозначную аналитическую функцию во всякой односвязной области, не содержащей точек линии Интеграл (6.132) называется интегралом типа Коши, функция называется его плотностью, а ядром, и для производной всех порядков интеграла типа Коши имеет место формула

Прежде чем перейти к изучению поведения интеграла типа Коши на линии интегрирования, рассмотрим вопрос о классах функций. Пусть некоторая функция, причем аргумент и функция могут быть как действительными, так и комплексными. Если является функцией из класса непрерывных функций, то, по определению, приращение аргумента и функции одновременно стремится к нулю. При этом вопрос о порядке малости приращения функции по отношению к приращению аргумента не рассматривается. Однако многие свойства функции, например разложение ее в ряды и быстрота их сходимости, представление интегралами и т. п., тесно связаны с порядком модуля непрерывности функции, т. е. где принадлежат кривой

Мы остановимся на наиболее интересном классе функций, для которых модуль непрерывности представим в виде степенной функции от приращения аргумента, т. е.

Здесь функция точек гладкой кривой любые две точки кривой — положительные числа. А называется постоянной Гельдера, показателем Гельдера, Условие (6.134) называется условием Гельдера (условие Я), и функция удовлетворяющая условию называется функцией из класса . Очевидно, при из условия (6.134) вытекало бы, что всюду а отсюда При условие Гельдера совпадает с условием Липшица. Если при достаточно близких друг к другу и условие И выполняется для некоторого показателя то оно будет, очевидно, выполняться и для всякого показателя Таким образом, меньшему а соответствует более широкий класс функций. Наиболее узким классом будет класс функций, удовлетворяющих условию Липшица.

3. Главное значение интеграла типа Коши. Пусть заданная действительная функция, обращающаяся в бесконечность в

некоторой точке с конечного интервала интегрирования Если вырежем совершенно произвольную окрестность точки с, то функция в и будет ограничена, а в не ограничена. Точка с называется особой точкой.

Предел

если он существует, называется несобственным интегралом функции от а до . В случае, если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится, а функцию называют интегрируемой в промежутке Если же интеграл бесконечен или вовсе не существует, то говорят, что интеграл расходится. Известно, что несобственный интеграл существует, если порядок бесконечности функции меньше единицы, т. е.

В случае обращения функции в бесконечность порядка первого или выше несобственный интеграл не существует.

Если в криволинейном интеграле (6.132) вместо точки подставим точку контура то получим сингулярный криволинейный интеграл

Представим его в виде

Так как в силу условия Гельдера

или

где то первый интеграл, на основании (6.136), существует как несобственный.

Во втором слагаемом подынтегральная функция допускает первообразную функцию которая является многозначной Примем, что есть контурное значение аналитической функции однозначной в плоскости, разрезанной вдоль некоторой кривой, соединяющей точки Условимся для определенности, что разрез произведен справа от линии Проведем из точки линии как из центра, окружность радиуса и пусть

точки пересечения этой окружности с линией Следуя (6.135), будем иметь

или

Так как следовательно,

Рис. 22

Рис. 23

Выражение в квадратных скобках будет равно углу между векторами (рис. 23), причем в силу выбора разреза этот угол должен отсчитываться слева от кривой, поэтому

следовательно,

Таким образом, главное значение, по Коши, сингулярного интеграла (6.137) для функции удовлетворяющей условию Гельдера, равно

4. Предельные значения интеграла типа Коши. Пусть простая гладкая замкнутая линия и на ней дана удовлетворяющая условию Гельдера функция тогда интеграл типа Коши (6.132) имеет предельные значения

при извне и

при изнутри

Здесь сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши и вычисляется по формуле (6.138). Складывая формулы (6.139) и (6.140), найдем значение интеграла типа Коши в точке, лежащей на линии

Рассмотрим теперь интеграл типа Коши для случая, когда линия интегрирования представляет собой прямую, простирающуюся в бесконечность. Не нарушая общности, эту прямую совместим с действительной осью и обозначим ее через (рис. 22). Верхнюю полуплоскость обозначим через а нижнюю — точки оси не включаются ни в ни в

Пусть вообще комплексная функция действительного переменного удовлетворяющая условию при всех конечных значениях и стремящаяся к определенному пределу при Кроме того, функция для больших значений удовлетворяет условию

Положим также, что функция стремится к одному и тому же конечному пределу при Если то интеграл типа Коши

если считать точку не лежащей на оси будет расходящимся. Действительно, имеем

В первом интеграле правой части подынтегральная функция в силу (6.142) будет при больших значениях порядка поэтому упомянутый интеграл, на основании известного критерия сходимости интегралов с бесконечными пределами, будет сходящимся. Вычислим второй интеграл

где угол, заключенный между прямыми, соединяющими точку с точками расстояния точки соответственно до (рис. 24). В последнем равенстве знак первого члена следует брать положительным, если лежит в верхней полуплоскости, и отрицательным — если в нижней полуплоскости. Если и независимо друг от друга стремятся соответственно к то а стремится к а не стремится ни к какому пределу; отсюда следует, что данный интеграл не стремится ни к какому пределу. Теперь будем считать, что во всем процессе Тогда

и будем иметь

Рис. 24

Если то интеграл (6.143), как показывает ход исследования, при условии (6.142) будет сходящимся.

Таким образом, сингулярный интеграл

по Коши, называется главным значением и определяется формулой (6.144). При указанных выше условиях, наложенных на функцию функция определяемая формулой

будет, очевидно, голоморфной в Для данного случая формулы Сохоцкого — Племеля для бесконечной прямой имеют вид

Здесь при соответственно из верхней и нижней полуплоскостей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление