Главная > Разное > Теория упругости (Амензаде Ю.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 51. Краевая задача Римана

Пусть обозначает совокупность конечного числа простых не пересекающихся дуг и замкнутых линий плоскости комплексного переменного Затем положим, что на каждой дуге и линии, входящих в выбрано определенное положительное направление. Разомкнутые дуги обозначим через выбирая обозначения так, чтобы положительное направление вело от Функцию будем называть кусочно-голоморфной во всей плоскости, если она голоморфна в плоскости комплексного переменного разрезанной вдоль непрерывно продолжима на все точки слева и справа, за исключением концов и вблизи концов имеет место неравенство

где с — аффикс любого из концов и В — положительные постоянные.

Пусть на заданы функции удовлетворяющие условию И, причем на Требуется найти кусочно-голоморфную функцию граничные значения которой на слева и справа, кроме концов (понятие граничных значений слева

и справа неопределенно) удовлетворяют условию

где носит название коэффициента задачи Римана, ее свободного члена. В случае, когда на функция задача называется однородной.

При получим задачу Римана частного вида

В этом случае задача сводится к определению кусочно-голоморфной функции по заданному скачку на Решение этой задачи можно получить из интеграла типа Коши

Аналогично сказанному функция представляет собой кусочно-голоморфную функцию, исчезающую на бесконечности, и, кроме того, она удовлетворяет в окрестности любого конца с линии условию

а также

кроме концов Следовательно, (6.149) является одним из решений задачи (6.148).

Рассмотрим разность где -искомое решение задачи (6.148). На основании и (6.149) на имеем

Согласно известной теореме значения функции слева и справа от аналитически продолжают друг друга. Поэтому, если приписать функции надлежащие значения на и учесть, что в силу условия (6.150) любой конец с является устранимой особенностью, мы можем считать ограниченной голоморфной всей плоскости. Согласно теореме Лиувилля будем иметь на всей плоскости, следовательно, или

где К — произвольная постоянная. Если принять, что решение в бесконечно удаленной точке исчезает, тогда следует положить Если допустить, что решение задачи (6.148) должно представлять собою кусочно-голоморфную функцию всюду, кроме бесконечно удаленной точки, где она может иметь полюс порядка

не выше тогда в силу обобщенной теоремы Лиувилля

где произвольные постоянные.

Особый интерес представляет случай, когда где заданная вообще комплексная, отличная от единицы постоянная. Тогда на

кроме концов. При допущении полюса порядка не выше на бесконечности общее решение задачи (6.155) будет иметь вид

где произвольные постоянные; частное решение однородной задачи

В свою очередь

Изложенные здесь результаты легко распространяются на случай, когда линия представляет собой неограниченную прямую.

В дальнейшем на основе этих результатов будут решены основные граничные задачи для полуплоскости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление