Главная > Разное > Теория упругости (Амензаде Ю.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 57. Бесконечная плоскость, деформируемая под действием массовых сил

Пусть на бесконечную плоскость действуют заданные объемные силы и при проекции вектора перемещения и компоненты тензора напряжений стремятся к нулю. Определим для случая плоской деформации напряженное состояние. Умножим уравнения равновесия (6.5) и уравнение совместности деформаций на ядро Фурье и

проинтегрируем их по каждой из переменных от до Тогда придем к системе линейных алгебраических уравнений

где введены двумерные преобразования Фурье функций ), определяемые (6.225)

Решая систему (6.232), найдем

На основании формулы обращения для двумерного преобразования Фурье (6.228) из (6.233) найдем

Покажем, что функция является преобразованием Фурье функции Действительно,

здесь

Тогда

Учитывая, что функция является преобразованием Фурье функции на основании формулы сверток (6.230) получим

Из этой формулы и вычислений, аналогичных приведенным выше [функции являются преобразованиями Фурье функций и получим

В качестве примера рассмотрим задачу о действии сосредоточенной силы на неограниченную плоскость. Решение этой задачи позволит выявить характер особенностей, которые имеют напряжения в окрестности точки приложения силы. Выберем начало координат в точке приложения силы и будем считать, что направление силы совпадает с отрицательным направлением оси Тогда массовые силы можно представить в виде

Здесь — функция Дирака, обладающая следующими свойствами: она равна нулю для всех значений за исключением

Тогда из последних формул окончательно получим

В свою очередь, компонент тензора напряжений определится известной формулой

Из формул (6.236) ясно, что при все компоненты тензора напряжений беспредельно возрастают.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление