Главная > Разное > Теория упругости (Амензаде Ю.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 70. Принцип минимума потенциальной энергии

Обозначим истинный вектор перемещения через и, а соответствующий ему тензор напряжений — через Этот тензор напряжений удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия

и условиям на поверхности

Придадим вектору перемещения вариацию тогда на основе формул (3.26) будем иметь

Отсюда найдем изменение тензора деформаций

Обозначая удельную работу деформации варьированного состояния равновесия через и разлагая ее выражение в ряд Тейлора, получим

Здесь — значение удельной работы деформации в истинном состоянии равновесия. Учитывая, что

и принимая во внимание закон Гука, последнему члену (8.8) придадим вид

Выражение (8.9), как известно из (4.36). представляет собой значение удельной работы деформации, соответствующее вариации вектора перемещения и всегда положительно-определенно. Используя (4.20) и (8.7), второму члену (8.8) придадим вид

Обозначим векторы напряжения на координатных площадках через тогда вместо (8.10) будем иметь

где V — оператор Гамильтона,

Из (8.8), с учетом (8.9), (8.11), найдем

выражающую приращение работы деформации. Непосредственной проверкой легко найти, что

(здесь по индексу суммирование не производится), откуда

При помощи формулы Гаусса — Остроградского получим

В правой части второго равенства подынтегральное выражение суммируется по индексу косинусы углов между нормалью и осями координат

На основании формулы (8.5) из (8.15) найдем

а на основании уравнения равновесия (2.27)

Следовательно, из (8.12) с учетом (8.14) будем иметь

Пусть сумма тех частей поверхности, на которых вектор перемещения принимает заданные значения, а остальная часть поверхности, на которой заданы силы Учитывая, что на где поверхностные силы неизвестны, и на поверхностные силы так же, как и массовые силы, не варьируются, из (8.16) найдем

или

где

Здесь работа деформаций, соответствующая истинным перемещениям: работа объемных сил на истинных перемещениях; работа заданных на поверхностных сил на перемещениях — потенциальная энергия тела; положительно-определенная величина.

Равенство (8.17) позволяет сформулировать следующую теорему: потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление