Главная > Разное > Теория упругости (Амензаде Ю.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 71. Принцип минимума дополнительной работы — принцип Кастильяно

Рассмотрим теперь равновесие, при котором заданы перемещения и соответствующий тензор напряжений При переходе от истинного напряженного состояния к смежному изменение удельной работы деформации будет

Измененный тензор напряжений так же, как истинный тензор напряжений должен удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия, т. е.

откуда следует

Разложив выражение удельной работы деформации в ряд Тейлора, получим

Второй член правой части второго равенства (8.19), как это было и в (8.9), представляет собой удельную работу деформации, соответствующую вариации тензора напряжений и всегда положительно-определен.

Пользуясь формулами (4.27), приведем первый член правой части второго равенства (8.19) к виду

или

В свою очередь, аналогично (8.13), имеем

Учитывая (8.18) в (8.20), получим

Следовательно, из (8.19) будем иметь

Если в подынтегральном выражении второго интеграла учесть (4.27) и формулы закона Гука (4.50), мы получим работу деформации, выраженную через вариации тензора напряжений

Применяя к первому слагаемому формулу Гаусса — Остроградского и обозначая второй интеграл через будем иметь

Наложим на измененный тензор напряжений условие, чтобы он был уравновешен заданными поверхностными силами. Тогда на тех частях поверхности, на которых заданы силы, Исходя из этого, (8.21) примет вид

Здесь сумма тех частей поверхности, на которых заданы перемещения. Учитывая, что на перемещения не варьируются, последней формуле придадим вид

где

Здесь работа поверхностных сил на заданных на перемещениях; называется дополнительной работой.

Принимая во внимание, что всегда положительно-определенная величина, приходим к выводу, что принимает минимальное значение.

Равенство (8.22) позволяет сформулировать следующую теорему: дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление