Главная > Разное > Теория упругости (Амензаде Ю.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 83. Волны Лява

Рассмотрим упругий слой постоянной толщины с упругими постоянными плотностью лежащий на упругом полупространстве с параметрами Будем предполагать, что скорость распространения поперечных волн в слое с меньше соответствующей скорости в полупространстве

Направим ось вдоль границы раздела, ось вглубь полупространства (рис. 46).

Пусть граница слоя свободна от нагрузки Тогда при

а на границе раздела

(звездочкой отмечены величины, относящиеся к полупространству). Кроме того, потребуем, чтобы при стремящемся к бесконечности, смещения стремились к нулю. Попытаемся найти такие решения уравнения (5.5) для слоя и полупространства, у которых были бы отличны от нуля только компоненты и при этом они не зависели бы от Такая волна, если она существует, является поперечной, так как

Рис. 46

Из уравнения (5.5) (без учета объемных сил) получаем

В силу сделанных относительно перемещений предположений первые пары условий (10.21), (10.22) и (10.23) удовлетворяются автоматически, а последние дают:

при

при

Будем разыскивать такие решения, зависимость которых от описывается синусоидальным законом, т. е.

Здесь заданная частота; с — неизвестная фазовая скорость, относительно которой будем предполагать что не противоречит (10.20).

Подставляя (10.27) в уравнения (10.24), получаем

откуда

Для ограниченности решения следует принять тогда

Из граничных условий (10.26) следует

Подставляя (10.27) в (10.25) и пользуясь (10.29), получаем

или при помощи (10.31)

Так как с помощью формул (10.28) выражаются через то (10.32) представляет собой уравнение для определения отношения — как функции параметров

Покажем, что корни уравнения (10.32) существуют. Будем считать неизвестным а остальные параметры заданными. Тогда при изменении от нуля до тангенс будет меняться от иуля до бесконечности, а так как тангенс — непрерывная функция, найдется такое значение при котором (10.32) будет удовлетворено. Последнее и доказывает существование корня уравнения (10.32).

Выпишем окончательные формулы для перемещений

Полученное решение представляет собой волну, бегущую в направлении оси со скоростью с. Перемещения в волне лежат в плоскости, перпендикулярной направлению их распространения, и параллельны границам слоя. Существенно отметить, что фазовая скорость их зависит от частоты (10.32), т. е. эти волны имеют дисперсию.

Эти волны впервые были открыты Лявом и поэтому носят его имя. Волны Лява, отличаясь от рэлеевских волн наличием дисперсии, своим чисто поперечным характером и др., имеют тем не менее с ними много общих черт. Как и рэлеевские волны, они обычно наблюдаются при землетрясениях на значительных расстояниях от эпицентра. Как и в рэлеевских волнах, в волнах Лява энергия концентрируется вблизи поверхности раздела, и поэтому они затухают медленнее, чем другие волны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление